Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
существу, соотношение (1) выражает первое начало
о
б э - б 'а{е)
(1)
(2)
V
104 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
термодинамики применительно к этим процессам. Более общая ситуация
рассмотрена в гл. 9.
Различают упругость по Коши, когда постулат о существовании потенциальной
энергии не выдвигается, и упругость по Грину, когда этот постулат
принят*). Упругий по Грину материал по предложению Трусделла называют
"гиперупругим", но многие авторы не видят необходимости в
этом разделении. Следуя им, мы принимаем, что упругий
материал "гиперупруг".
Возвращаясь к (1) и вспомнив определение элементарной работы (2.7.5),
имеем
6э = Р- • б VRT. (3)
Поэтому, принимая, что э - скалярная функция тензорного о
аргумента VR, по определению (II.2.7) производной приходим к
фундаментальному соотношению для тензора Пиола
Р=^ = *о • W
dyR VR
Воспроизводя снова один из выводов гл. 3, § 2, представим
индифферентный скаляр ayVRy в штрихованном базисе выражением
9 ( vr) = э ( VR') - э ( VR • о) = э (U • 0х ¦ О) = э (U) --= э (G1/*)
(5)
(было использовано соотношение (3.2.6)). Это позволяет далее
о
принимать п. э. функцией VR, U и V, но только для изотропного материала.
Во всех случаях для нее сохраняется обозна-. чение э
s = s(vr)=s(U) = 3(G). (6)
По (11.3.5) получаем также
о
Р = э0 = 2э0 • VR (7)
VR
и далее по (2.6.3), (2.6.11)
Т = 2 VRt-3g-VR, Т=2 )/1~ 90. (8)
Представления тензоров Р и Т в изотропном материале при неискаженной
отсчетной конфигурации через э приобретают со-
*) Понятие о потенциале ввел в математическую физику .Грин (G. Green) в
публикациях 1839-41 гг.
УДЕЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
105
гласно правилу дифференцирования (II.3.6) вид
Р-э0 - 2VR-3f, Т Y-Q VR-P-2 У ¦§¦ F-3P. (9)
VR
Перечисленные здесь формулы, исключая (9), применимы ко всем упругим, а в
статике ко всем простым материалам. Конкретному заданию функциональной
зависимости п. э. от ее аргументов соответствует некоторая группа
материалов. Пригодность принятой зависимости должна проверяться
сравнением результатов решенных на ее основе простейших задач
(растяжение, простой сдвиг и т. д.) с данными измерений. Предложены также
критерии, основанные на априорных представлениях о поведении упругого
тела при нагружении - см. гл. 5, §§ 9-13.
Отметим, что переход от исходного соотношения (3) к представлению (4)
тензора Пиола и следствия из него (6) - (9) за-
о
конны в предположении, что вариация градиента места 6VRT- независимая
величина. Об этом см. гл. 7.
Векторные базисы двух отсчетных неискаженных конфигураций v и v задаются
тройками векторов г., и rs, совмещаемыми ортогональным преобразованием
Охсох, определяющим группу
равноправности g материала (гл. 3, §§ 4, 6). Связь между гради-
о
ентами места в этих базисах VR и VR задается соотношениями
VR = rsR^ = 0XTrsR^ = 0XTVR, VRr = VR?Ox (10)
- не следует смешивать их с формулами (1.15.11) преобразования актуальной
конфигурации при переходе к штрихованному базису.
Меры деформации Коши - Грина и Фингера преобразуются в противоположность
(1.15.13), (1.15.14) по формулам
G =VR VRT = 0XT G 0х, F = VRr VR = F. (11)
Естественно, что тензор F, задаваемый в базисе актуальной конфигурации,
нечувствителен к замене отсчетного базиса. Компоненты Gsk повернутого
тензора G в базисе г^, равны компонентам Gsk тензора G в базисе
[(1.8.11)] и по (II.5.2) функция s(G) компонент G изотропна в подгруппе
Охсох ортогональных преобразований
a(G) = a(Gn, ..., G31) =-- э (G31, ..., Gbl)-a(G). (12)
Этим подтверждается сохранение группы равноправности материала-
необнаруживаемость, в какой из отсчетных конфигураций (ц или v) задана
мера G.
Во всем последующем рассматривается твердый упругий материал по
определениям гл. 3, §§ 6, 7.
106
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
§ 2. Уравнения состояния ортотропного и трансверсально-иготропного
материалов
Формы зависимости скалярной функции ср от ее аргументов, инвариантные для
некоторых подгрупп ортогональных преобразований, рассмотрены в I, § 5.
Основываясь на этих представлениях и отождествив здесь <р с удельной
потенциальной энергией деформации э, по (1.8) приходим к уравнениям
состояния. Ограничимся случаями ортотропного и трансверсалыю-изотроп-ного
материалов.
Для ортотропного материала по (II.5.10)
причем Gsk-компоненты G в ортонормированием базисе сг, с2, с3 осей
симметрии материала.
По определению производной скалярной функции по симметричному тензору
(II.2.8) имеем
Вектор места г в отсчетной конфигурации здесь определен декартовыми
координатами as в базисе q, с2, с3 представляющими здесь материальные
координаты частицы
dR
(1)
3 3
3
Теперь учитывая, что
оо оо
VRT-c,= R,c*-c,=-R" cftVR = Rft,
по (1.8) приходим к уравнению состояния
1
+ Tp-G23(R2R3 + R3R1)+-^G31(R3R1 + R1R3) . (3)
сю 2 з dG 31
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
107
причем с-ось трансверсальной изотропии. По (II.3.3) и (II.3.8),
(II.3.9) имеем
