Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 50

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 742 >> Следующая

где принято #_r, s = Яг, _s, что всегда можно обеспечить тривиальной
заменой 0Х->- 0Х + const.
Применяя (2.4.15) к гамильтониану (2.4.16), получаем
-р в -д^0'°- 4- 2е -dHZ--s cos 8Х = 0, (2.4.17)
dJi dJi dJi
- 2еЯг,_* sin 0^ = 0. (2.4.18)
Из (2.4.18) следует существование двух неподвижных точек 01О = 0 и 01О =
я. При точном резонансе2)
JHo_ =г_дНо-------gJHiL- =Г(0 S(0 =0 (2.4.19)
dli dJ, dJ*"
и уравнение (2.4.17), определяющее 710, принимает вид
+2 ,>Иг:Г$- = 0, (2.4.20)
dh dj i
где положительный знак соответствует 01О = 0, а отрицательный - 01О = я.
В Это замечание справедливо, но по другой причине: обычно, хотя и не
всегда, резонансы высших гармоник очень слабые и соответственно область
резонанса с измененной топологией инвариантных поверхностей оказывается
узкой по переменным действия [см. (2.4.31)].- Прим. ред.
2) Отметим, что условие точного резонанса по невозмущенным частотам
(2.4.19) совместимо с (2.4.15), вообще говоря, лишь в нулевом порядке по
е [см. (2.4.17)].- Прим. ред.
126
Глава 2
Рассмотрим два случая.
1. Резонанс в невозмущенной системе имеет место только при некоторых
значениях Jx и /2. Такая система (и ее гамильтониан
Я 0) называется невырожденной 1). Это наиболее типичный случай,
при котором невозмущенный гамильтониан после преобразования зависит от
обеих переменных действия
Н0 = Н0(3" J*)- (2.4.21)
2. Условие резонанса (2.4.3) выполняется для любых Jи J2. Такая система
называется вырожденной 2). Очевидно, что в этом случае
H0 = H0(sJ1 + rJi), (2.4.22)
и после преобразования (2.4.6а), (2.4.66)
Н0=На[12), (2.4.23)
т. е. Я0 не зависит от /1. Вырождение по отношению к одному из первичных
резонансов довольно часто встречается в физических системах 3),
представляющих интерес. Однако этого почти никогда не происходит по
отношению ко вторичным резонансам в силу очень сложной зависимости их
частот от переменных действия. Особенности вырожденных систем
рассматривались Егером и Лих-тенбергом [212] и Израйлевым [207 ] 4).
Невырожденный случай. Из гамильтониана (2.4.16) с учетом (2.4.21)
получаем оценки
*7 - ' сЯГ! _s,
(2.4.24)
0-1,
откуда следует, что (2.4.16) можно разложить в окрестности неподвижной
точки по переменной J1 (но не по Bj). Обозначая
Д/i =?!-?!", (2.4.25)
имеем
7/0 (/) = //(, I/o) -г A/j-r V+ . • ••
dJ [ 2 dJ\
(2.4.26)
0 В оригинале - accidentally degenerate (случайно вырожденная). Этот
термин используется в отечественной литературе в совершенно ином смысле,
соответствующем случаю 2, рассмотренному ниже.- Прим. перев.
2) В оригинале - intrinsically degenerate (внутренне вырожденная).- Прим.
перев.
3) Например, в случае линейных невозмущенных колебаний. Классическим
примером вырождения для нелинейной системы является задача Кеплера (см.
п. 1.Зв).- Прим. ред.
4) Любопытные эффекты вырождения рассмотрены также в работах [134, 470].-
Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
127
Вторым членом в правой части (2.4.26) можно пренебречь в силу (2.4.19).
Подставляя (2.4.26) в (2.4.16), опуская постоянную и удерживая лишь члены
низшего порядка по е и Л/1( находим гамильтониан, описывающий движение
вблизи резонанса
ДЯ= -i-G(Aii!2-Fcose'j, (2.4.27)
здесь G - параметр нелинейности
G [J0)= --50-, (2.4.28)
зА
а
F[j0) = -2eHr,_s(jo). (2.4.29)
Этот примечательный результат показывает, что движение вблизи любого
резонанса г) подобно движению маятника с его колебаниями вращением и
сепаратрисой. Приближение (2.4.27) использовалось Чириковым [70] и
другими авторами для описания типичного поведения гамильтоновых систем
вблизи резонанса; оно же является основой нашего подхода при изучении
хаотического движения в окрестности сепаратрисы резонанса. Гамильтониан
(2.4.27) дает в некотором смысле универсальное описание движения вблизи
резонанса, поэтому мы будем иногда называть АН стандартным
гамильтонианом.
Перестройка движения под действием возмущения вблизи резонанса
иллюстрируется на рис. 2.8, а. При GF>-0 устойчивая и неустойчивая
неподвижные точки расположены при 0Х = 0 и 0J- л соответственно. Частота
колебаний вблизи устойчивой неподвижной точки (центр резонанса) мала:
(c)! = (FGfi'z ~ (вНг. _")'/*. (2.4.30)
Эта частота уменьшается вплоть до нуля при приближении к сепаратрисе,
оставаясь все время много меньше частоты 02, которая по порядку величины
равна единице. Максимальное отклонение Л*/1 макс мало, происходит на
сепаратрисе (при 0!= 0) и равно половине ее ширины
Д71Макс = 2 (-^)'/2 ~(e//r. -s)1/*. (2.4.31)
Ч Правильнее было бы сказать-типичного резонанса, поскольку "приближение
маятника" (2.4.27) справедливо все же лишь при определенных условиях -
так называемой умеренной нелинейности, во-первых [см. (3.2.36)], и
малости кратных гармоник, во-вторых (противоположный пример см. в работе
[471], § 4.2).- Прим. ред.
128
Глава 2
центр резонанса
б
Рис. 2.8. Фазовые траектории вблизи резонанса.
а - невырожденный случай; полуширина резонанса Д*/1макс и частота фазовых
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed