Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
уравнению состояния простого материала в форме
(2.9) представления тензора напряжения функционалом над пред-историей
тензора искажений. Для упрощения записей в этом соотношении далее
опускается указание на само собой подразумевающуюся зависимость от
материальных координат частиц
Т Д) - 0*т (*) сГ (U (т))-0х {t). (1)
Фактически о предыстории можно делать лишь более или менее
приемлемые предположения. Ближайшей задачей поэтому яв-
ляется исключение предыстории - замена функционала функцией величин,
определенных "теперь" в момент t, а нет=Д - s. Первым шагом должно быть
выделение из'и(т) слагаемого U (t) и представление остаточного члена Q
(t, т)
U(T)-U(f) + Q(f, т). (2)
Обратившись к обозначениям гл. 1, § 17, заменим в тождестве
VR (Т) - г% (т) = г% (t) • VR (т) = VR (t) • VR (т)
градиенты места их полярными представлениями U (т) • Ох'(т) = 1Г(0 • 0х
(t) • U (т) • 0х (т),
U (т) = и|(0 -0х (0<1Г(т)-Ох|'(т).*Охт (т).
§3] УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ 81
По (1.12.12)
0х (т) ---= R5 (t) Rs (т), Ох'г (т) ^ Rft (т) г*,
0х (т) ¦ Охт (т) = R" (t) rs =¦ 0х r (/),
откуда находим
U (т) = U (t) • 0х (/) • U (т) ¦ Охт (t). (3)
Теперь разбиению U (т) на два слагаемых (2) придается вид U (т) = U (t) +
U (t) • 0х (0 • (Ь (т) - е) -Охг (/),
Q (t, T) = U(f)-Ox(f)-(u(x)-E)-OXc(0. (4)
t
причем Q (t, t)^0, так как U (/) - E. Функционалу (1) придается вид
JT(U(T))=<r (U(/) + Q(/, т))=<^ (U (*))+?(*, т), (5)
причем
S(t, T)-cr(U(/)+Q (/, т)) - еГ (U (/)). (6)
Уравнение состояния представляется соотношением
Т (0 ^0^-?r(U(t))-0(t) + 0^(t)-S(t, т)-0 х(0, (7)
в котором первое слагаемое -функция (не функционал) тензора и (о в
актуальной конфигурации, второе - функционал над пред-дысторией движения
(функционал памяти). Его структура определена выражениями (6) и (4).
Далее на всем протяжении книги постулируется существование материалов,
подчиняющихся условию
W-т>0 <?(/, т) = 0, (8)
согласующемуся со следствием <§{t, t) = О из соотношений (4) и (6).
Этот постулат исключает из рассмотрения вязкие и упруговязкие материалы,
поведение которых нельзя описать, не учитывая его связи с протеканием во
времени предшествующего деформирования. Не требуется и знания
последовательности, в которой материал подвергался деформированию, -
исключено изучение пластичности. Речь идет только о материалах, полностью
лишенных "памяти", не возникает вопроса об их предыстории. Такими
свойствами наделяется упругий материал.
Далее рассматриваются две ситуации. Во-первых, речь может идти о
статических только процессах -нагруженное тело нахо-
88
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
дилось и продолжает оставаться в покое, так что определяющие деформацию
величины вообще не зависят от времени, но зависят только от материальных
координат
U = U (q1, q2, доопределяющее уравнение простого'материала теперь
принимает вид
T = 0XT-Jr (U)-Ox. (9)
Во-вторых, можно ограничиться рассмотрением материалов с "мгновенно
исчезающей памятью". Тензор U (t) остается зависящим от времени, но
функционал памяти $ (t, т), равный, напоминаем, нулю при t = т,
пренебрежимо мал по сравнению с первым слагаемым в (5).
Тогда по (7)
Т(*) = Охт(г)-сГ(и(0)-Ох(г). (Ю)
Материалы с уравнением состояния (9), (10) называются упругими. Теория
упругости-часть механики сплошной среды, изучающая поведение этих
материалов. Речь идет о существенно различных материалах.
Результаты, основанные на рассмотрении уравнения состояния (9)
сохраняются для всех простых материалов. В статических условиях "теории
упругости" приписывается большая общность, чем указывается в наименовании
этого предмета.
Совершенно иначе приходится трактовать содержание уравнения состояния
(10). Здесь речь идет о весьма идеализированной модели материала,
немедленно и независимо от предшествующего состояния реагирующей на
деформирование в данный момент t. Изучение функционала памяти показывает,
что такая идеализация приемлема, как "нулевое приближение", при
достаточно медленно протекающих процессах деформирования; в следующем
приближении в рассмотрение должны быть включены скорости этих процессов.
Итак, простой материал "упруг", если напряженное состояние в нем в момент
t не зависит от предыстории деформирования, а определяется деформацией в
этот момент. "Упругий материал немедленно забывает", как протекало
деформирование.
Меры деформации определяются сравнением актуальной конфигурации с
отсчетной. Это дает повод к высказыванию, что упругий материал наделен
совершенной памятью об одной единственной конфигурации - отсчетной. С
таким воззрением нельзя согласиться, так как эту конфигурацию можно
назначить произвольно, ей, вообще говоря, нет нужды приписывать особые
физические свойства. Произвол выбора ее позволяет во многих
§4]
ГРУППА РАВНОПРАВНОСТИ МАТЕРИАЛА
89
случаях упростить уравнение состояния и это дает основание предпочесть
некоторую специально выбираемую отсчетную конфигурацию.
В записях (9) и (10) уравнения состояния упругого материала заменим
