Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
интеграл движения и демонстрируется влияние вторичных резонансов. Все это
поясняется с помощью некоторых результатов численного моделирования.
Преобразование к резонансным переменным - не единственный способ описания
топологических изменений адиабатического инварианта вблизи резонанса.
Имеется определенная свобода выбора инварианта, так как если J -
инвариант невозмущенной системы, то и любая функция / (/) тоже инвариант.
Выбирая dl/dJ =0 вблизи резонансных значений J, можно учесть изменения в
топологии возмущенной системы. Этот метод, разработанный Дуннетом и др.
[111 ] (метод ДЛТ), описан в п. 2.4г и иллюстрируется на том же примере
резонанса волна-частица.
В Возможность устранения резонансных знаменателей связана с учетом
нелинейности, точнее, неизохронности колебаний (зависимости их частоты от
амплитуды); см. ниже в этом параграфе и п. 3.2а.- Прим. ред.
2) Подобные методы использовались во многих работах (см., например, [33,
232, 469]).- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
123
* 2.4а. Устранение резонансных знаменателей
Рассмотрим гамильтониан
H = H0(J) + eH1(J, 0), (2.4.1)
где Н0 описывает интегрируемую систему, а Нг является периодической
функцией 0:
Нг=1, HLm(j)ein &. (2.4.2)
I, пг
Здесь п = (/, ш) - целочисленный вектор. Если между невозмущенными
частотами имеется резонансное соотношение
(1)2 _ г
ш, S
(2.4.3)
где г, s - целые числа и
дН0 " /п дН0
"!(/)= со 2(J)=-^, (2.4.4)
dJi dJ-г
то попытка найти решение с помощью теории возмущений, описанной в §
2.2 и 2.3, приводит к малым резонансным знаменателям.
Будем считать, что условие (2.4.3) относится либо к первичному
резонансу в системе, либо ко вторичному резонансу с фазовыми колебаниями
на первичном резонансе. В обоих случаях резонансные знаменатели можно
устранить с помощью преобразования, которое исключает одну из переменных
действия Jг или J2. Выберем производящую функцию
^2 = Hi-s02) Л+ 02^2, (2.4.5)
которая задает каноническое преобразование от У, 0 к J, в:
У1=-^-=г71, (2.4.6а)
двх
J2= = 7,-&Ги (2.4.66)
<эе2
дР2
д7г
дк2
Г0! -S0a, (2.4.6в)
= 02. (2.4.6г)
dJ2
Скорость изменения новой резонансной переменной
01 = r01-s0a (2.4.7)
характеризует медленные отклонения от резонанса.
При использовании производящей функции вида (2.4.5) имеется произвол в
том, какую из исходных фазовых переменных оставить-
124
Глава 2
неизменной. Предположим, что 02- наименьшая из двух частот, и примем 02 =
02, тогда усреднение гамильтониана по быстрой фазовой переменной после
преобразования будет проводиться по более медленной из исходных фазовых
переменных. Такой выбор особенно удобен, если предстоит устранять
знаменатели резонансов высших порядков, так как в последних остается при
этом более низкая гармоника 1).
Применяя преобразование (2.4.6) к гамильтониану (2.4.1) и используя
(1.2.13в), находим
H = H0[j) + eH1{J, 0), (2.4.8)
#!= 2Яь-(^)ехр{т-[^ + (^ + /пг)0~2]}- (2.4.9)
I, т
Для получения преобразованного гамильтониана первого порядка
можно, как и в § 2.3, усреднить по переменной 02 [ср.
(2.3.17)],
что дает
H = H0{j) + eH1{j, 0,), (2.4.10)
Я0 = Я0(7), (2.4.11)
Я,= (яа(У, 0))е~ = ? H-pr.Ps{j)e-tp°' - (2.4.12)
' • р = - оо
Это усреднение справедливо вблизи резонанса, где 02> §i. Так как Я не
зависит от 02, то
72 = 72о = const. (2.4.13)
Это - первый"член ряда, представляющего адиабатический инвариант для
гамильтониана (2.4.8). Из (2.4.66) видно, что 1% является комбинацией
инвариантов невозмущенной системы:
А=72+ - Jt = const. (2.4.14)
Г
Таким образом, введение резонансных переменных позволило в явном виде
найти новый инвариант системы вблизи резонанса. Однако для резонанса
высокого порядка, когда s > г, новый инвариант /2 просто пропорционален
исходному инварианту J v Сле-
г) Это замечание непонятно и несущественно для дальнейшего. Конечный
результат не должен зависеть от выбора переменной 02, в качестве которой,
кстати, можно взять и любую комбинацию 0!, 02, линейно независимую от 0!-
- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
125
довательно, существенны только резонансы низких гармоник 1).
Поскольку J 2 = const, то движение, определяемое гамильтонианом (2.4.10)
в переменных J ъ 0Х, имеет фактически одну степень свободы и,
следовательно, интегрируемо. Неподвижные точки 710, 01О на фазовой
плоскости /1( 0Х, соответствующие периодическим решениям для возмущенного
гамильтониана, находятся из условия
Л-=0, -^-=0. (2.4.15)
dh 30!
Для невозмущенного гамильтониана периодические решения при резонансном
значении J (2.4.3) вырождены по 0, т. е. существуют для всех 0.
Возмущение снимает вырождение и оставляет только периодические решения,
удовлетворяющие (2.4.15) (см. также обсуждение теоремы Пуанкаре -
Биркгофа в п. 3.26).
Обычно амплитуды Фурье Я_рл ps быстро убывают с ростом р.
Поэтому интегрируемое движение в переменных Jъ 0г можно
описать с хорошей точностью, удерживая лишь члены с р = 0, ± 1:
Н = H0[J)+bHmQ) +2e#r,_s (7) cos0!, (2.4.16)
