Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
"Напряжениями" в общепринятом понимании этого термина являются
"физические" компоненты тензора Т.
Единичные векторы нормалей к поверхностям qs - const и векторы сил,
отнесенных к единичной площади на них, обозна-
S S
чаются N, t (ниже qs - ортогональная система координат)
S D5 s S
N = --- t=N-T
| Rs | >
и по (9)
fktn n tst p __ fst I Rf I _
Tf 1 ' I RJ"j" ~ 1 | RJ j ef>
причем et -единичные векторы координатных линий qf.
Физические компоненты Т, обозначаемые ast, равны проек-
S
циям t на эти направления
= = ^ /-gf , (26)
Здесь Gu, GsS-диагональные компоненты мер деформации G и G-1. Конечно,
ast не являются компонентами тензора; очевидно, ost = ats, поскольку GS~1
= GSS.
Исключение представляют декартовы координаты; тогда et = i/ и отпадает
отличие компонент тензора напряжений от его физи-
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
67
ческих компонент. Общеприняты обозначения ох, о , о2 нормальных и хх ,
ху2, х2Х касательных напряжений, так что
tn = ax, t22 = oy, t33 = o2, t12 = xXy, t23--xyZ, t31^=x2X. (27)
В цилиндрической системе координат R, Ф, Z
G11 = G11=1, G33 = G33- 1, G22 -= R2, G22 = R~2
и no (26)
/11 n /33___" /31 rf /22 __ СТф
I - Or, I -Oz, I - Xzr, I --pTf,
Т/?Ф T(r)Z
(28)
t - * t
М2 D > 1
§ 3. Уравнения движения сплошной среды
Рассматривается произвольно выделяемый в сплошной среде объем Vх,
ограниченный поверхностью 0х. Как бы ни был он выделен из объема V (часть
поверхности 0х может принадлежать границе О объема V), поверхностная сила
на 0х определяется уравнением Коши (2.8)
f = M-T = tN. (1)
Законы динамики Эйлера, записанные для объема V, имеют вид уравнений
баланса количеств движения и момента количеств движения
1Шр"лЧП<)кД/+Я'""'
Vх Vх 0х
И1 pI*Xv^ = jjjRxpkdK +RxtNdO.
d dt
' vx Vх
Заменив в поверхностных интегралах tN его значением (1) и применив
преобразование Гаусса -Остроградского, по (II 1.8.4) и (III.8.5) получим
55 N-Tdo=555\-Tdv, 55 rхn-т^о=5S5 (rxу.т-2ш)dv,
0х Vх 0х Vх
(3)
причем со - сопутствующий кососимметричной части Т вектор, равный нулю,
если Т - симметричный тензор. Подстановка в (2)
68
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
ЕГЛ. 2
приводит к соотношениям
ИДе?-('к-у'т)л'-°-
ffi[Rx(p5L-pk~v'T) + 2"'
dV^O.
Поскольку Vх - произвольный объем, подынтегральные выражения должны быть
равными нулю. Первое соотношение приводит к уравнению движения Коши
V.T + pk = p-^; (5)
вторым устанавливается симметричность тензора напряжений
со = 0 => Т = Тт. (6)
Соотношение (1), отнесенное к поверхности О объема К, доставляет
граничное условие на поверхности О. Если рассматриваются равновесные
конфигурации объема V, то правая часть (5) обращается в нуль. В этом
случае уравнения движения называются уравнениями статики.
Возвращаясь к выражению (1.16) силового тензора после замены в нем f по
(1), получим
В = Ш pww+n N. R<fO = $$S (pk + V.TlRdF+SSS TdV,
V О V V
так как
VTR = (V-T) R + R'!-TRJ = (V-T) R + T.
Итак,
в = Ш pkRir+SS"1(0=S5S мг=гт,."
v о V
T^-iWTdV- (7>
v
Здесь Т(га) - среднее по объему значение тензора напряжений.
Симметричность тензора напряжений - также непосредственное следствие
(1.17) и (7)
B-BT=Exm°= (Т-Tr)dV=--0, Т = ТТ (8)
v
(так как это соотношение применимо и к произвольно выделенному из V
объему 1/х).
Из этих соотношений следует также, что при равенстве нулю главного
вектора сил рк и f и при отличном от нуля их главном моменте можно
удовлетворить необходимым условиям равно-
§3] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДБ1 69
весия, сообщив объему конечный поворот и сохранив неизменными направления
сил (или повернуть силы при неизменной ориентации тела). Действительно
после поворота, задаваемого ортогональным тензором, силовой тензор
преобразуется к виду
B' = $$$pkR'dl7+$$fR'ff0 = B-0, (9)
г
так как R' = RO. Тензор О по (8) определится условием
В'-В'т = В'О-О'Вт = 0. (10)
Вместе с тем, предположив, что В - неособенный тензор (det В =^=0), и
использовав его полярное представление
В = (В- Вт)'Т. б, Вт = бт (В Вт) /*, (11)
можно удовлетворить условию (10), приняв
0 = 0Т.
При таком повороте удовлетворяются все условия статики, поскольку
остается равным нулю и главный вектор всех сил.
Замечание. Соотношения вида (7) обобщаются при замене диад kR, 1R
тензорами вида кЧ*" (R), RF (R), причем Ч*' -тензор любого ранга. Имеем
J J f4T (R) dO = N-ТЧГ (R)rfO = JJJ V-T4TdV =
0 0 V
= SSS[(V.T)?(R)+T.V?]dy (12)
и по (5)
5$Jpk4"W+ (13)
v о v
Например, приняв 4*" = RR, приходим к соотношению
J $ $ pkRR dV + $ $ fRR dO = $ J $ T (ER + R^RRJ dV, (14)
V O V
приводящему к системе восемнадцати уравнений, определяющей все моменты
первого порядка декартовых компонент тензора напряжений
И $ (UsqyXr + t<sr>xi) dV = 55$ pk<s>x4xrdV + f<syx4xrdO. (15) г vo
Оно распадается на три легко решаемые системы. Приняв Ч? = = RRR,
получили бы 30 уравнений для 36 моментов второго порядка.
70 НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
§ 4. Тензор функций напряжений
Известно, что тензор с равной нулю дивергенцией представйм ротором
