Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
/1(B) = -n^5S5pk-RdI/-f $$ f.RdO. (18)
V о
Сложнее представление элементарной работы равномерно распределенного
давления по части Ох поверхности О. Через Гх обозначается ограничивающий
Ох замкнутый контур на О. По теореме Стокса (III.9.11) и и о (III.3.4),
(1.10.19) имеем
<р dR-(Rx6R) = SS N-Vx(Rx6R) dO -=
Г о
X X
= JS N-.[6R-VR - 6RV-R - R-V6R + RV-6R]dO =
°х
= -3 55 N'6RdO+SS N• 6RПО + 5S N<40-(EV-6R - V8RT) =
°x °x °x
= -3 55 N-6Rd.0 + ^\ti-Rd°.
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ
61
Выражение элементарной работы приведено к виду
_pjjN-SRdO = --3-p8j^N-RdO + yp j dR-(Rx8R). (19)
ox ox rx
Нагружение равномерно распределенным по части поверхности давлением
непотенциально. Исключением является случай жестко заделанного края.
Тогда 6R = 0 и по (19)
_p^N-6RdO = yp6J^N-RdO- -6П, П-=уЭДpN-RdO.
о у О х О X
(20)
К этому результату приводит рассмотрение и случая жесткого контура,
могущего смещаться в своей плоскости, не отрываясь от нее.
§ 2. Тензор напряжений Коши
Тензор напряжений является одним из главнейших, и притом первичных,
понятий в механике сплошных сред. Существует много способов введения
тензора напряжений, однако все они содержат, по существу, следующие
предположения.
1. Уравнения, выражающие баланс количества движения и момента количества
движения, сформулированные для системы конечного числа материальных точек
и абсолютно твердого тела, естественным образом обобщаются применительно
к деформируемым телам. Это-эйлеровы законы динамики.
2. Если внутри тела выделить произвольный объем V посредством замкнутой
поверхности О, то воздействие части тела вне V на объем V сводится к
заданию на О некоторого векторного поля, называемого вектором напряжения
tN и представляющего собой поверхностную плотность вектора силы. При этом
вектор силы dP, действующий на бесконечно малый элемент dO, вычисляется
по формуле dP ^tNdO. Выбор tN предполагается непрерывным по
пространственным координатам.
Вторым предположением исключены из рассмотрения так Называемые полярные
среды, в которых помимо вектора напряжений на поверхности О действует
вектор моментных напряжений p,N такой, что момент dM, приложенный к dO,
находится по формуле dM= fxN dO. Полярные среды в этой книге не
рассматриваются.
Дальнейшее рассмотрение основывается на применении сформулированных
предположений.
Выберем в качестве объема V цилиндр радиуса а и длины I. Ьудем считать,
что единичный вектор N направлен вдоль оси
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
trH. 2
цилиндра. Напишем для этого тела уравнение баланса количества движения
/ а 2jc I а 2п I 2Л
~ ^ ^ ^ pvr dr dz - ^ ^ ^ pk dl/ + ^ j trr dfp с/г +
ООО ООО 00
а 2л а 2л
Объемный интеграл в левой части этого равенства есть суммарное количество
движения рассматриваемого цилиндра. Правая часть, являющаяся главным
вектором действующих на цилиндр сил, представлена интегралом по объему от
массовых сил, интегралом по боковой поверхности цилиндра (г-а) и двумя
интегралами по торцам 2=0 и г = /. Вектор N является внешней нормалью к
торцу 2 = /, а вектор (-N) - внешней нормалью к торцу 2 = 0. Вектор
напряжения, действующий на бесконечно малой площадке dsN, обозначен через
tN. Устремляя в (1) длину I цилиндра к нулю, получаем, что левая часть и
первые два интеграла в правой части обращаются в нуль, а последние два
интеграла вычисляются по разным сторонам одной и той же площадки 2 = 0.
Поэтому уравнение (1) принимает вид
а 2к
5 $ (t_N + tN) г d(pdr -- 0.
о о
Применяя к этому равенству первую теорему о среднем, получаем
t-N | r=r, +tN\г=гг =0, 0<Г!, г2<а, О^ф,, <p2<;2jx,
ф=ф, ч>=ф2
где произведено сокращение на множитель ixa2. Устремляя теперь радиус
цилиндра а к нулю, получаем первое искомое свойство вектора напряжений tN
tN = - t-N, (2)
где обе части вычислены в одной и той же точке. Поскольку направление оси
цилиндра, а также точка г--0, 2=0 совершенно произвольны, приходим к
заключению, что соотношение (2) выполняется во всех точках, и на
произвольных площадках рассматриваемого тела.
Применим теперь уравнение баланса количества движения к элементарному
тетраэдру, построенному на векторах Ri dq1, R2d<72, R3 clq3. Гранями
этого тетраэдра являются площадки R, X R3 dq1 dq2, R2 x Rsdq2dq3, R3xR,
d*?:i dq1 и плоскость, проведенная через концы векторов Rid*?1. R2d*/2,
R3d*?3. Интеграл по замкнутой (кусочно гладкой) поверхности от единичного
вектора
§2] ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ 63
внешней нормали, очевидно, равен нулю. Действительно, используя теорему
Гаусса - Остроградского, имеем
NdO = JSN.EdO=SSSV-E^=0.
О О V
Выбирая в качестве О поверхность тетраэдра, получаем равенство
nl R2 di?2 X R3di?:! , n2 R3dq* X Rj dq1 , n3 Rt dq1 X R2 dq2 N ao - К |
R11 IR21 IR31 *
При получении этого равенства было учтено, что внешняя к тетраэдру
нормаль к площадке, натянутой, например, на векторы R2dq2, R3dq3, равна
(-R^R1!-1). Из равенства (3) получаем следующие три соотношения:
I Rm dqm х Rrt dqn | = N • Rj, | R^ | тфп, пфр, тфр. (4)
