Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
АЪ= - -^g"r(Vsgtr + Vtgsr - Vrgst)-
(10)
54 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
Вспомним также, что по теореме Риччи (III.5.11)
VG^= 0, Vgst = 0;
можно представить (9) и (10) также через ковариантные производные
компонент тензоров деформации (7.8)
АЬ = G?r ('Vsctr + Vtcsr - Vrcst), Ah g*r (Vsatr + Vtars - V,.asf).
(П)
Применение тензоров аффинной деформации позволяет избежать введения
символов Кристоффеля в представлениях дифференциальных операций над
тензорами. Исходными соотношениями служат формулы дифференцирования
градиентов места
{ s*} riR"" {/J r,7^=^rAR,=7l^r,-?R=r,-A. VR.
Итак,
до 00 00 00
dqk
^ VR = rft- А • VR, VVR = A-VR. (12)
Аналогично получаем
d
0 0 0 0 0 0 0 VRT = VRT-AT-rft, VVRT = r^VRT AT-rA;, (13)
- Vr = -Rfe-A-Vr, VVr = - A ¦ yr, (14)
oqn
- VrT--= - VrT-AT-RA, VVrT = - RftVrT • AT- R*. (15)
dqk
Основываясь на этих формулах, получаем представления производных мер
деформации Коши - Грина и Альманзи
|^ = rft.A-G^G.A-.r" ^ = -(R*-A-g + g-AT.Rfc). (16)
Свертки компонент тензоров аффинной деформации по верхнему и нижнему
индексам приводят к выражениям
.k _d\n\~G d\nVg d , (]7)
Ak* V T' ( '
При свертывании по нижним индексам тензоры аффинной деформации определяют
векторы
G,4RH?* = E--А = Аг-Е. g^r,Afs = Е- 'А =А- Е, (18)
j 19j ТЕНЗОРЫ АФФИННОЙ ДЕФОРМАЦИЙ 5Й
Дивергенция меры Фингера. По вышеприведённым формулам имеем
л0 О О /О О N о
jL F = - VRT- VR = VRr - ( Ат'Га + г,.-A j • VR ^
• dqk дЯк
= VRT • (r"H + rsrq) • VR Ah - gms (R,R,e + R"R,) Ajk, (19) V.F = 6^-
FA?,;-fg%A?,.VR = F-R^ln|/| +VRT-(AT •• E).
Получаем
V - F = F ¦ V In j/'y + (E • • A) ¦ VR = F • V In j/"-j -(-VRT • (AT • •
E).
(20)
Понадобится еще знать VF2. Имеем
V F2=F V F + F VF, F-V.F^F2-Vln]/J- +F-VRT-(Ar • • E),
F VF - (F R*R,R* + F R*F RR,) A%k -
- F - ¦ R,RftRMfft-F + F - • F • R*R?R(/Affe ^ F • • (AT- F -f F-A).
Итак,
V F2= F2-V + F-VRf.(A- -E) + F- • (AT-F + F • AT). (21)
Применение тензоров аффинной деформации позволяет связать
дифференциальные операции над функциями градиента места или мер
деформации с производными по этим мерам. Например, для скаляра
блф (VR) = V\p-= лф0 • • 6VRT - \])0 . . Ат-глб<7/г,
VR VR
так что
О 0 0 0 0 о
V^ = Ф0 ••VRT-AT = t0 VRT-AT^2tG-G--Ат. (22)
VR VR
Аналогично для тензора второго ранга по (9.7)
50 0 0
^-=Q0 • ¦ VRT-Ат-гЛ,
дЯк VR
V-Q =гЛ- (Q0 ¦ VRT- ¦ Ат) • rk - 2rft- (Qc - G• • AT) ¦ rk. (23) VR
Дифференциальное уравнение (12) для градиента места, записываемое в форме
системы уравнений первого порядка
о оо
VR Z, VZ = AZ, (24)
56
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
тотчас же преобразуется к виду (18.6)- достаточно принять декартовы
координаты as отсчетной конфигурации в качестве материальных, представить
Z в виде (3.3) и учесть, что символы Кристоффеля в отсчетной конфигурации
при qs - as обращаются в нуль. Рассмотренная в § 18 задача сведена к
разысканию по (24) тензора Z и к последующему определению вектора места R
по его полному дифференциалу
dR = dr-Z. (25)
г л а в а 2
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
§ 1. Массовые и поверхностные силы
Тело (сплошная среда) в этой главе рассматривается преимущественно в
актуальной конфигурации. Как и выше, объем тела
и ограничивающая его поверхность в этой конфигурации обо-
значаются V, О, а в отсчетной-о, о. Сохраняются обозначения плотности р,
р0 в актуальной и отсчетной конфигурациях. По закону сохранения массы
dm = pdV = p0dv, (1)
так что
л/ - /о\
р ~~dv V g • {z)
Внешние силы-воздействия на частицы тела 3d окружающих его тел. Их
подразделяют на массовые и поверхностные.
Массовые силы действуют на каждую частицу среды. Вектор массовых сил,
отнесенный к единице массы, обозначается к; поэтому
kdm = pkdV = p0kcfo (3)
- сила, приложенная к элементарной массе в объеме V, а рк -¦ сила,
рассчитанная на единицу объема (объемная сила). Главный вектор массовых
сил и их главный момент относительно начала векторов R равны
55$ pkdV= Щ p0kdu, Щ RxpkdK = $$$ Rxp0kck>. (4)
V v V v
Примером массовой силы является сила тяжести
k = -i3 g- (5)
Здесь i3 - единичный вектор восходящей вертикали, g-ускорение силы
тяжести. Другой пример-если частицы покоятся в системе осей, равномерно
вращающихся вокруг неподвижной (в галилеевой системе) оси, то в число
массовых включается "центробежная" сила
к = - их (их R) = со 2/ге.
(6)
56
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
тотчас же преобразуется к виду (18.6)- достаточно принять декартовы
координаты as отсчетной конфигурации в качестве материальных, представить
Z в виде (3.3) и учесть, что символы Кристоффеля в отсчетной конфигурации
при qs - as обращаются в нуль. Рассмотренная в § 18 задача сведена к
разысканию по (24) тензора Z и к последующему определению вектора места R
по его полному дифференциалу
dR = dr-Z. (25)
г л а в а 2
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
§ 1. Массовые и поверхностные силы
Тело (сплошная среда) в этой главе рассматривается преимущественно в
актуальной конфигурации. Как и выше, объем тела и ограничивающая его
