Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 481

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 475 476 477 478 479 480 < 481 > 482 483 484 485 486 487 .. 742 >> Следующая

Rs- Поля а и Q смещаются и поворачиваются вместе с базисом,
"наблюдатель" за поведением индифферентных
полей не знает, с каким базисом он связан.
Дифференцируя (1) по t, имеем
v' =c(0 + OT-v + OT-(R-R0) =c-f 0Tv-f 6T0-(R'-с), так что
v' - От v =c + 0T 0 (R - с). (6)
Вектор скорости неиндифферентен; это следует из (3), поскольку правая
часть (6) не нуль. Это и понятно: так как частица Движется, вектор v не
"вморожен" в среду.
Кососимметричный тензор
Q =0Т0 = - 0Т0 = - йт (7)
44 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
представляет тензор угловой скорости (спин) штрихованной системы
относительно нештрихованной; ю - сопутствующий ему вектор угловой
скорости. Формула (6) преобразуется к виду
v' = с + От- v + й- (R' - с) =От- v + юх (R' - с) + с. (8)
Дифференцируя (1) и (8) по qs, получаем
R; = R,0, 0=R*R(, 0-R'* = R*8*=Rft,
R'S = 0T- R5, R5R'5 = 0t,
V'v' = R• О + R"Q • R; = 0T• R* ^ • О - R'*R(• Й.
Итак,
VV = Or Vv-O - Й, (V'v,)T = 0T-VvT-0 + Q. (9)
Градиент скорости - неиндифферентный тензор. По (13.10) и (13.11)
получаем
D' = От-D О, W'^0T W 0 + Q (10)
- деформация скорости - индифферентный тензор, тензор вихря скорости
неиндифферентен. Формулы (10) составляют содержание теоремы Зоравского
(Zorawski).
Формулы преобразования градиентов места, поскольку отсчет-ная
конфигурация не преобразуется, представляются выражениями
VR' = r*R; = r*RsO = VRO, VR'T = 0TVRT, (11)
V'r = R'% = 0TR%^0TVr, V'rT = VrT0 (12)
и из них следуют преобразования мер деформации
G' = VR' • VR'T - VR 0-0T-VRT = VR • VRr - G, (13)
F' = VR'T- VR = 0T - VRT - VRO - Or - FO. (14)
Мера Коши -Грина неиндифферентна, Фингера -индифферентна. Следствием из
этого и формул (6.4) является неиндифферентность левого, индифферентность
правого тензора искажений. К этому же можно прийти, основываясь на
полярном представлении градиента места
VR-UOx = VR' Or -U' О Or,
причем, как было условлено, крестиком обозначено ортогональное
преобразование, сопровождающее деформацию (§ 6). Но полярное
^16] объективная производная ТЕНЗОРА 45
о
представление VR единственно. Поэтому
U-U', 0х' = 0Х0. (15)
Отсюда и из (11) следует
VR=OxV = VR'Ot = Ox • V' • От = 0х • О • V' • От, V = 0 V' ог
и этим подтверждается индифферентность V
V'=0TV0. (16)
Из определений (2) индифферентного тензора и (II.7.1) изотропной
тензорной функции следует, что значение всякой изотропной функции от
любого'числа индифферентных тензоров есть индифферентный тензор. Конечно,
изотропной может быть и функция неиндифферентного тензора.
§ 16. Объективная производная тензора
Пусть a, Q индифферентны. Их производные по времени, однако,
неиндифферентны, например,
а'= (а-0)'= a-0 + a-0. '(I)
Соотношения, описывающие присущие сплошной среде свойства, должны
единообразно формулироваться во всех базисах - ни один из них нельзя
считать преимущественным. Это заставляет придать понятию производной по
времени от индифферентной величины определение, сохраняющее
индифферентность. Это достигается и не единственным способом.
Используя соотношения (15.7), (15.10) и (15.3), можно преобразовать (1) к
виду
а' = а-О-а-О - Й - а-0 - а-0 - (W' - От-W-О) =
= (а + а • W) • О - а' • W'
и по (15.3) оказывается индифферентным вектор
a = a + a-W-(a'+a'-W')0T-a -W-a, (2)
называемый объективной (индифферентной) производной а по Яуманну - Ноллу.
Аналогично, хотя и более громоздко, вычисление для тензора второго ранга
Q' = (Ot Q O)- =0rQ0 + 0T Q 0 + 0T Q 0 =
-0I.Q.0 + Q.0T'Q0-0TQ0.fi = 0,'Q0-fW'.Q'-- Q'.W'-0T W 0 0T Q 0 + 0T Q 0
OrWO =
= 0T Q 0 + W' Q'-Q' W'-0T W Q-0 + 0T Q W 0
46
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
ИЛИ
Q'-W' Q' + Q' W' = Or (Q-W Q + Q W) О,
откуда и следует объективность производной Яуманна- Нолла тензора второго
ранга
Q = Q -WQ + QW. (3)
Новые определения объективной производной можно получить, включив в
выражение производной Яуманна - Нолла или отбросив в нем индифферентные
слагаемые вида Da, DQ или a-D, QD. Например, заменив W его выражением D -
Vv, получим
а = а + а-D - a-Vv, Q = Q - DQ+VvQ+QD- Q •Vv.
Отбросив индифферентные слагаемые, придем к производной Олдройда
а = а -а-Vv, Q = Q + Vv-Q - Q • Vv, (4)
или в другом виде, добавив слагаемые 2а D, 2QD, д д
a = a + a-VvT, Q = Q + VvQ + Q • VvT. (5)
Определение, предложенное Трусделлом, основано на рассмотрении вектора N-
TdO {NdO - ориентированная площадка, Т -индифферентный тензор второго
ранга). По (4) и (10.2.2) получаем
(N -TdO)~ = (N -Т dO)' - N - Т- VvdO =
= N dO • (Т+TV • v-VvT • Т-Т • Vv) (6)
и это позволяет определить объективную производную по Трус-деллу
выражением
Tv = Т + TV • v -- VvT • Т - Т • Vv. (7)
В приведенных формулах точкой над буквой обозначены материальные
производные
a=4r+v'Va- Q = ir + v-VQ-
Компонентное представление Q дается одной из формул
переменная отг,четная конфигурация
47
Вместе с тем
VvT.Q_Q.Vv=R%[9;^-<?r^- + ^({srv} ц1~ {\г) я'*) VvT • Q + Q • Vv = R,Rt [
qrt~ + qsr T^ + vq{{Srq) Ян + {Jr} qsi )
Приходим к таким, не содержащим символов Кристоффеля, представлениям
Предыдущая << 1 .. 475 476 477 478 479 480 < 481 > 482 483 484 485 486 487 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed