Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
соотношению
/77(0*) - /77(G) =
= //3(0){Tl/l (e) + ^-[7i(e) + Vw- • VwT 21 j (е2)]| =
= //s (G) |r|V- w + -T-r)2[(V-w)2 - Vw- • Vw]| . (5)
Следствием - служит формула, определяющая вычисленное с учетом слагаемых
порядка т|2 приращение объема тела после наложения поля перемещений r|w
1/х-+ [(V-w)2-Vw - • Vw] dV. 4(6)
V г
§ 13. Кинематические соотношения
По уравнению движения (1.3) частицы <Jl{qx, q2, q3) определяется вектор
ее скорости
V = WRto1. <Л<ЛО- (О
После замены в этом представлении материальных координат координатами
места в актуальной "^-конфигурации (см. § 1) выражению (1) придается вид
v = v(x\ х2, х3; ?) = v(R; t). (2)
Здесь совершен переход от материального ("лагранжева") описания движения
к пространственному ("эйлерову"), как объяснялось в § 1. Соотношением (2)
определяется поле скоростей в среде. В (1) А прослеживается движение
данной частицы, в (2) наблюдается движение "теперь, в этом месте".
Пусть в поле скоростей (2) задано скалярное поле
Ф = Ф (q1, q2, q\ f) = "p(R; 0- (3)
Дифференцируя это выражение и используя (3.7), получаем
d^^dt+^d4s=wdt+dR-RS!^=wdt+dR-^' (4)
Первое слагаемое определяет приращение <р в данном месте 33 промежуток
времени dt-локальное изменение; наличие вто-Р°го объясняется тем, что за
этот промежуток времени частица °^(<?А), несущая значение скаляра <р,
сместилась из места R в место R-f dR = R-{-vdf, в котором скалярное поле
приобретает
38
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
приращение v-Vqidt. Иначе говоря, это-конвективный перенос, создаваемый
полем скоростей. По обозначениям § 10 имеем
6хср = dt v-V(p, cp-=vVcp (5)
- поле вектора w здесь заменено полем v, а параметр малости
г| через dt.
Соотношению (4) придается вид
Ф='-|г + Ф'- (fy
Этим выражением определяется "материальная производная" (говорят
"индивидуальная", "субстанциальная") ф по времени, равная сумме локальной
и конвективной производной. Обозначение
точкой над буквой просто, но не общепринято ^встречается
d _D_\ dt ' Dt)'
Аналогично определяется материальная производная вектора а, тензора Q
a(R; /) = -g- + vVa = |f + VaT.v, Q (R; t) + vVQ. (7)
В частности, при a = v первое соотношение определяет поле ускорений b
b = f + v.Vv = |f-fVv-v. (8)
Обозначение (10.3) вектора R1 повторяет определение (1) вектора скорости;
поэтому остальные формулы в § 10, если речь идет о величинах, зависящих
от R (но не от его производных по qs) и не зависящих явно от /, сохраняют
свое значение при замене w на v, а точки в верхнем индексе точкой над
буквой.
При a, Q, явно не зависящих от времени, формулы (7) повторяют определение
(10.13) конвективной производной, когда говорится и о конвективном
переносе, создаваемом полем w. Само собой разумеется, производные по
времени величин, зависящих только от времени (но не от места) также можно
обозначать точкой над буквой. В этой книге почти не отведено места
нестационарным полям (явно зависящим от времени), поэтому теряется
различие между материальной и конвективной производными.
Производная по времени градиента места, заданного его полярным
представлением (6.1), определяется по (10.7)
(vr)'=VR.Vv = (U-0)- = U-0+ и-о.
Поэтому
Vv = Vr - (U -0 + U-6) = От- (U-1 ¦ U - 0 + О). (9)
l4-j МАТЕРИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА 39
Линейный тензор деформации г (v) над вектором скорости ("деформация
скорости") традиционно обозначается через D, а тензор вихря (спин над v)-
через W. По (9) получаем
D =j (Vv + VvT) = у От- (U-1 • U ф- U • U-1) - О, (10)
W = ±(VvT-Vv) =6T-0 + i-0T-(U-U-1- U^-UJ-O. (11) Было использовано
соотношение (11.8).
§ 14. Материальная производная интеграла.
Закон сохранения массы
Рассматривается интеграл от величины, заданной в ^ф-кон-фигурации
сплошной среды, включенной в объем V
Ч' = Ш'Р'й'. (>)
v v V
В отсчетной конфигурации частицы, включенные в V, заполняли объем v\ это
позволяет, заменив dV по (1.1.9), представить выражения (1) интегралами
по объему v
т=Я1 V7ф*' с=1Я adv' Р=;Ш v^fQdv- &
V V V
Вычисление материальной производной от величин (1) затруднено
переменностью объема V; ограничивающая его поверхность О сама изменяется.
Это затруднение отпадает, если обратиться к выражениям (2); теперь
достаточно выразить материальные производные самих подынтегральных
величин. По (10.18) и (13.6) получаем
МЯ у^ y(cpV't'+(p) dt,=IiI V у(ф?-у+у-Vcp+fr)dy=
V ° V *
+ <3>
и аналогично
С=Щ (ar-v +v - Va + ~) dv*= (JJ (~ + V-vaj (/1^. (4)
* ~ ffi ¦ ' + ¦v •VQ + тг) * = f f f (тг+v" ) dV- (5)
V V
40 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. !
Действительно,
V-vQ = (V-v)Q + R5-v^r = (V-v)Q + v-VQ.
В условиях допустимости преобразования Гаусса -Остроградского (III. § 8)
эти формулы преобразуются к виду
Ф = Щ1Л/+ Jj N-vcpdO, с- N-vadO.
N'vQ'i0- (б'
V 0
Формула (3) применяется к выводу уравнения неразрывности, выражающего
закон сохранения массы. Масса сплошной среды в объеме V актуальной ^-
конфигурации "определяется интегралом
т> S И р (91- ?2> я3> l)dV = S И р (R; 0 (7)
У У
