Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
О
Сложнее выражение производной по VR самого тензора G. По (II.4.15)
G0 = VR С", + rV• VRTr5rt = VR• Сш +r'r *rfrtr'• R, =
VR
- VR-Cni "Ь vsi'*riRft - VR-Cni +Сц • VR.
Сославшись еще на (1.15.9), получаем
G0 = (Сц + Cin) • VR, g^. (Сц -f Cni) ¦ Vr (6)
VR
--второе соотношение получено аналогично первому.
Формула обобщается на дифференцирование по градиенту места любого
тензора. По (II.4.11) и (1.15.3)
Qo =Qg -C" G0 -- Qg • ¦ (Сц -f-Cm) • VR
VR VR
и, обратившись к определению производной по симметричному тензору,
получаем
о
1 догпп
Qc = yrmr" -2L_ (rsrt + rtrs),
(ПП + НП) • • (Си +СШ) 2 (гЛп -frfrj,
О
дптп
QG .(CII + CIII) = rwr"--|rr(cr,-f rtrs) =2Qg,
St
Q0 = 2Qg • VR, QG = lQ0R-Vr. (7)
VR
В частности при Q G, G0 = ^ (C" + Сш) приходим к (6Д. По (II.4.16) имеем
также
/ О о \ /О О \
Fо = ^ VRr ¦ VrJq .= (.VR-.rfrs + rsrrVR)r^ =
VR VR
" (R<rsH rsRf)rV (8)
и no (7) при условии соосности F и G
Fg = 1f0 •Vr = i(R,R- + R^R/)r'r,. (9)
VR
По (3) и (7) имеем также
|У7ЛО)О]0 =У77(0) (QVrT + 2QG-VR). (Ю)
VR
30 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
В компонентном представлении по (3.11), определениям (II.4.7) и (6),
имеем
G0 - rmtkrqrP= rV (rfr"Vix'!.+ rtreV,x")
VR dvgXJJ
и поэтому
^ = • • -rV (r^r"V 1%п + rtrnYs%n')•
духР
Получаем
=vJkx,+ь$я%Р, ё-'f,=eg,'чкРр+4vmPr (ii)
д^дЦР 4
Понадобится также знание производной Vro . Имеем
VR
YrTo = - VrT • r/t • VrTrV = -¦ r^R"1 • ngf"R"rV = - rmR'JR"!r"
VRT
и далее
VrT0 = Vtq --Cn-.VRS =Vr0T •.CIf--C1II = VrT0 • .C",
VR VRr VR VRT VRT
так что
Yro =-rmR'rtR-. (12)
VR
§ 10. Варьирование деформированного состояния
Частицам среды в ее актуальной ^{-конфигурации сообщается в фиксированный
момент времени t перемещение r\w(ql, q2, q3)\ с точностью до линейных
слагаемых относительно малого^, параметра разыскиваются вариации
(приращения) величин, характеризующих деформацию. Иначе говоря,
определяется конфигурация <Y3f, в которой место частицы задается теперь
вектор-радиусом
Rx = R + t]w. (1)
Вектор-радиусы г и R, как и ранее, задают место частицы в отсчетной v- и
актуальной ^{-конфигурациях. Вариацией вектора R, обозначаемой 6R -R^^,
определяется его изменение при смещении частицы а? (qk) в ее окрестность
<Л (qk-j- bqk). Разность же Rx - R определяет изменение места этой
частицы, создаваемое налагаемым полем смещений tjw. Ее будем обозначать
6x^ = RX-R = t]w, (2)
JIO] ВАРЬИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 31
а коэффициент при ц в этой и приводимых ниже формулах точкой в верхнем
индексе варьируемой величины
R- = lim -5^=w. (3)
Т1 О Ч
Векторный базис в 'Pf-конфигурации по (1) задается тройкой векторов
R? = R, + Л -^г = ¦ (Е + Р Vw) = (Е + riVwT) • R" ^
r; = r, Vw = Vwt r,.
Взаимный базис проще всего определять из соотношения, выражающего
неизменность единичного тензора. Отбрасывая величины порядка Г]2,
получаем
Е = R>"RX -= RXSR, + R*"r]R,-Vw = RX*RS + pRJRs• Уw =
= RXSR5 + T)Vw,
так что
RXSR^ - E - pV w, RXJ=RJ - r]VwRs,
Rs' =- R*VwT =-Vw-R*.
Это позволяет определить набла-оператор в -конфигурации выражением
Vx = Rx^ = (RJ - V^W-R^)^ , V' = -VwV. (6)
Градиенты места в f3^. По (4) и (5) получаем / о \х о о /оч.о
о
(VR) = rfR^ = VR-(-r|VR-Vw; ( VR j = Vr.Vw = Vw, .
o' у 0 0 \')
VR^j = VwtVRt = Vwt,
(Vr)x = RJXrf = Vr - pVw-Vr; (Vr)" - - Vw-Vr,
(VrT)' = - VrT- VwT.
Меры деформации в По (7) и (8), пользуясь легко про-геряемым правилом
{<№)'= <№ + <№, (9)
получаем
G* = (vR-VRT)" = VR • (Vw -f- VwT)- VRT = 2VR-e (w)- VRT, (10)
F" = (vrt'.Vr)' = F-Vw + Vwt-F. (11)
Функция места частицы aS(qk) в ^^-конфигурации представляется разложением
Ф (Rx) = Ф (R) + (Rx - R)- УФ-f-... =ф (R) -f- pw-УФф-.,.
32 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I
и в соответствии с принятыми обозначениями
Ф' = Нт - [Ф (Rx) - Ф (R)l = w-VCD и т. д. (12>
т} -> О 'I
Например, в применении к вектору a(R) и тензору Q (R)
a(R)* = w- Va = VaT-w, Q(R)'^wVQ. (13}
Величину Ф' следует назвать конвективной производной; ею определяется
изменение отнесенной к частицеоМ (qk) величины Ф, обусловленное переносом
этой частицы векторным полем w из места R в Rx.
Конвективная производная функции тензорного аргумента Q, следуя
определению производной по тензору, вводится соотношением
8ХФ = Фо • • 8XQT - Ф(з • • r]QT'; Ф (Q) - Фц- QT . (14)
Конвективные производные инвариантов /А(G). По (4) и (10) имеем
1г (G)' - Е G*-2E- • VR-e(w)- VRr = 2VRT-VR-•e(w)=-2/1 (F• е),
(15)
/2 (О)' = [Е/, (G) - G] • • O' = 21, (G) /, (F • e) - 2F2 • • e =
= 2[/1(F)/1(F-e)-/1(F2-e)], (16)
/, (G)' = /3 (G)G"1- -G' = 2/3 (G) VRTG_1- VR- -e =
= 21 g (G) E • • e --= 213 (G) I, (e) = 2/3 (G) V. w. (17)
Были использованы правила свертывания (1.7.16) и формулы для производных
от инвариантов (II.3.1), (II.3.3). По (17) получаем также
У7ЖУ= У y^fY-w. (18)
Конвективная производная ориентированной площадки. По (8.5), (18), (8)
имеем
(N <40)'= ^ У -^-n- VrTdo^j = У~ (n- VrTV• w -n- VrT- VwT) do = N dO- (E
V- w - Vw1) -- (EV- w- Vw) • N dO. (19)
