Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
VR = е' dS', dR" = VR* ¦ dr" = e" dS",
dR' • dR" = e' • e" dS' dS" = dr' • VR. VR* • dr" = ds' ds" e' • G • e",
о о
причем, конечно, dr' = e'ds', dr" = e"ds". Получаем
о о /о оо 0 N -•/, о о e' 'e"= e' •G 'e" - v e' 'G ' e'e" 'G'e / e'-G-
e" (13)
и аналогично
e' 'e" ~ ' 'e"= (e'' §'ee ' 6 • e") ~1/z e' • g • e". (14)
о о
Направив e', e" вдоль базисных векторов r,., rf и-конфигура-ции и назвав
<pst угол, образуемый этими векторами в актуальной конфигурации, по (12)
имеем
cosq>st= l/ -~= ¦ G ¦ -=r =. (15)
Tst У ossGtty-gss ygtt yassGn
По (14) аналогично получим
СОЗф°;=_1^, (16)
V gssgtt
причем - угол в и-конфигурации между базисными векторами Rj, R, ^-
конфигурации.
о
Формулы связи между единичными векторами е, е в точке аМ в и- и ^(-
конфигурациях. Имеем
О 0 0 0 0,0 0,
dR = edS = dr-VR = eds-VR, e = e-VR^| = VR*-e||
и аналогично
0 0 jo л с
dr = eds = dR- Vr = edS- Vr, e = e-Vr-^-= Vr*-e-^.
Приходим к соотношениям оо оо
e-yR __ V R т~ e 0 e-yr _ yr*-e
° г °V/2 (0 Г °V/2 ' (e-g-e)I/2 (e-g-e)'/2
e*G*e ) J
о
В частности, если e -единичный вектор на направлении г5, то
МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ КОШИ - ГРИНА И АЛЬМАНЗИ 19
- иначе говоря, вектор в левой части (17)х - единичный вектор
о
на направлении R/, конечно, е слева в (17)2-единичный век-
о
тор на Гу. В частности, для главных направлений еА, ек мер G и g
ч=тк' (18)
По (3.11), (4) и (5) выражениям мер деформации G и g можно придать также
вид
G = VR.VRT = rWy, = V,xftV,x*. (19)
g = Vr-VrT = RsR1VJpfcV,p^, gst = VyPAVtpft. (20)
В частности, в декартовой системе осей
s=?">№, g">=g~;.
(21)
Через q<mn> обозначаются компоненты Q в декартовой системе, если это
неясно по тексту.
Перемещение сплошной среды называется жестким, если преобразование
отсчетной конфигурации в актуальную задается законом перемещения
абсолютно твердого тела
R = R0 + (г-г0) -О. (22)
Здесь О - собственно ортогональный тензор, один и тот же для всех частиц
среды, R0, г0 -векторы места полюса б, u0 = R0 - г0- его перемещение.
По (22) имеем
R, = VO, VR = rsry O - О, VR- VRT = G = Е. (23)
Мера Коши в жестком перемещении оказалась единичным "ором
е по (2)
тензором; этого следовало ожидать: для любого направления
dsy 0 г 0 0 ° 0 0 ,
) - e-G-e - е-Е-е = е- е = 1
расстояние между частицами среды остается неизменным. Надо Доказать
обратное - условие G = E выполняется только для жесткого перемещения.
Сославшись на теорему Риччи (III.2.17), (Ш.5.11), имеем
VG = VE = 0, VkGst = (VftR,) • Rt + Rf • V*R, = 0.
20 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
Записав еще два соотношения, получающихся из написанного при круговой
перестановке индексов kst, вычтя из суммы двух третье, получим
(V*R,).Rf = 0.
Теперь, приняв декартовы координаты отсчетной конфигурации за
материальные, приходим к системе уравнении
д'1хт дх"
dakdas daf
- 0 (/ = 1,2,3)
с определителем (1.7), равным 1
дх">
да*
\ ' (i | ilet Е 1, (24)
так как рассматривается собственно ортогональное преобразование.
Итак, следствием условия G = E является равенство нулю всех вторых
производных декартовых координат актуальной конфигурации по координатам
отсчетной
д4"1 : о, - = Xsm, xm = Xsmas + cm, R = r-A-j-c. (25)
dasdat das
Такое линейное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную
(декартовых координат в декартовы) называется аффинным; А - постоянный
тензор, осуществляющий это преобразование. Но
VR = A, G - Е = А• Ат, Аг = А"1, А = 0,
так как условие равенства транспонированного тензора обратному определяет
ортогональный тензор. По (24)-это собственноортогональный тензор.
Формулу (25) теперь можно представить и в виде (22), как и требуется.
§ 5. Тензоры, обратные мерам Коши-Грина и Альманзи
Эти тензоры вводятся соотношениями [см. (3.5)]
G~' = (VR• VRT)-' = Vrr- Vr-r,R5-R*r;i - G'*r,r*. 0)
g-1 = (Vr • VrT)_l - VR1 • VR = R;srs-rARft = g"sftR4Rfc. (2)
Они определены - первый в v-, второй в "Т^-базисе, а их контравариантные
компоненты равны контравариантным компонентам единичного тензора Е
соответственно в еУэ%- и и-базисах.
§ 6] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ. МЕРА ГЕНКИ 21
Главные значения, значит и инварианты, тензоров G и g-1, g и G-1 друг
другу равны, поскольку равны главные значения тензоров А-Ат и А1'-А.
Вместе с тем главные значения G и G-1, g и g-1 обратны друг другу, а их
главные направления совпадают- см. (1.9.14), (1.9.15). Тензор g_1, далее
постоянно применяемый, называется мерой Фингера и обозначается
F-g VRT TR. (3)
Представлениям введенных четырех мер деформации теперь придается вид
0 0 0 0 0 0 G = G^e1 -f G2e,e2-f G3txe3, (4)
g==^7eiel + ie2e2+gV6363'
t 0 0 I 0 0 .00
G_1= G7eiel+G7e2e2'+G7e3e3>
F=g-1 = G1e1e1 + G2e2e2 + G3e3e3. (7)
Инварианты этих тензоров определяются формулами I, (G) = /, (F) = Gj + G2
+ G3 = g'*Gsk,
h (G) = /* (F) = GxG2 + G2G3 + G3G4 = = /3 (G) gskG>*,
13 (G) = I3 (F) = GxG2G3 = , (8)
h (g) = U (G-1) = ~ ~+ ~ = = gsk GSk,
1 u2 u3
Mg)' h (G 3) |G| G1G2 ^ GSG3 + G3Gj QgSkGsk'
Были использованы соотношения (1.7.12), (1.9.8).
