Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 460

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 454 455 456 457 458 459 < 460 > 461 462 463 464 465 466 .. 742 >> Следующая

19 1,539 1,238 3,400 3,769
На рис. 6.17 показан еще один способ изображения периодического решения в
распределенных системах (ср. с рис. 6.13). Этот способ удобен в тех
случаях, когда профили решения качественно сохраняют свою форму и
изменяются не слишком сильно (так, чтобы на рисунке не перекрывать друг
друга).
Для продолжения периодического решения при изменении параметра, например
параметра L, можно разработать алгоритм, основанный на конечно-разностной
схеме (6.5.4). Вблизи точек поворота величину L необходимо рассматривать
как неизвестную и последовательно изменять значения какой-либо другой
переменной, например Т.
348
Глава 6
6.5.2. Решения волнового характера
Рассмотрим сначала уравнения с частными производными
(4.3.7) без граничных условий на бесконечном интервале изменения
независимой переменной г. Подстановка
х (z, t) - ф (z - ct), у (z, t) = ф (z - ct) (6.5.5)
в уравнения (4.3.7) приводит к системе двух обыкновенных диф-
Рис. 6.17. Периодическое решение задачи 11 при ГУ1, найденное с помощью
разностных уравнений (6.5.4): m = 18, п - 5, А - 2, В - 5,45, Дх = 0,008,
Оу = 0,004, Г = 3,3073.
ферендиальных уравнений 2-го порядка для функций ф(|) и Ф(1):
= ф" + f (Ф. Ф)> ( =~щ - Сф' = -?1гФ" + &(ф, Ф).
Периодические решения, а также гомоклинические и гете-роклинические
траектории системы (6.5.6) соответствуют решениям волнового типа исходной
системы.
Обратимся теперь к случаю конечного промежутка изменения переменной z и
рассмотрим вновь систему (4.3.7) с соответствующими граничными условиями.
(6.5.6)
6.5. Периодические решения в распределенных системах 349
Заметим, что нелинейные дифференциальные уравнения с частными
производными параболического типа могут обнаруживать характерные свойства
гиперболических систем: они могут иметь решения, которые можно назвать
решениями волнового характера на конечном интервале изменения
пространственной переменной. Изложение мы будем вести на примере задачи
12.
В первой части этого пункта мы рассмотрим решения типа импульса, а во
второй части исследуем волну типа фронта (см. § 2.6).
6.5.2.1. Волна типа импульса
Волновые решения уравнений (4.3.7) зависят от свойств системы,
получающейся при Dx-*-0, Dy-*-0. Рассмотрим задачу 12, т. е. зададим / и
g формулами (Р12-1) и (Р12-2). Выберем следующие значения параметров: у =
3, v0 = 0,01, (3 =
Рис. 6.18. Фазовый портрет системы (Р4-1), (Р4-2): у = 3, vo = 0,01, |3 =
= 1,5, 6=1, а = 12; Si, S2, S3 - стационарные решения.
= 1,5, 6=1, а = 12. Соответствующая система при Dx = - Dy - 0 (см. (Р4-
1), (Р4-2)) будет иметь три стационарных решения:
Sb хх = 0,11566, г/[ = 0,19618 (устойчивый фокус);
S2: *2 = 0,37278, г/2 = 0,89151 (седло);
S3: *з = 0,70063, г/3 = 3,51059 (неустойчивый узел).
На рис. 6.18 кроме стационарных состояний показаны нулевые изоклины
функций / и g. Пунктиром изображена одна из траекторий. Из рисунка видно,
что относительно малое возмущение стационарного состояния S] может
вызвать изменение переменных состояния по "циклу возбуждения"; система
уходит при этом далеко от устойчивого стационарного состояния.
350
Глава 6
(Если выбрать начальное условие справа от Si за нулевой изоклиной функции
f, то фазовая траектория закручивается вокруг состояния S3, и лишь потом
устремляется к Si.)
Выберем теперь для уравнений (4.3.7) в задаче 12 следующие граничные
условия:
2 = 0: *(0, t) = xp, у (0, t) - уь (6.5.7а)
г=1; dxiXt)_ = 0) ^Л = 0. (6.5.7Ь)
Если хр = Х\ (х\ и у 1 представляют собой значения х и у в стационарном
состоянии Si, см. выше), то задача имеет тривиальное решение x(z,t)==xt,
y(z,t) = y\, которое является устойчивым. Таким образом, величина хр
характеризует собой
Рис. 6.19. Бегущая волна в задаче 12 при ГУ2: у = 3, vo = 0,01, р = 1,5,
б = 1, а = 12, Dx = 0,008, Dy = 0,004, L = 2,5, хр = 2; v = 0,108, Т =
8,0.
возмущение переменной х на левом конце промежутка. На правом конце заданы
граничные условия второго рода, которые описывают непроницаемую для
исследуемых веществ стенку. Уравнения (4.3.7) решались посредством
конечно-разностной схемы типа Кранка - Николсона с заменой нелинейности с
помощью отрезка ряда Тейлора (см. § 6.4) при п= 160, т = 0,1. Если
выбирать хр не слишком близко к х\, то в системе начинают возникать волны
концентрации, бегущие от 2 = 0 до 2=1. Одна из таких волн изображена на
рис. 6.19 (для некоторого момента времени t). Эта волна возникла вблизи
левого конца промежутка, в точке 2 = 0,2 ее форма оказалась уже
достаточно развитой, далее она сохраняет свой вид до значения 9 2 = 0,8,
после чего на правом конце промежутка она исчезает в силу действия
граничных условий (6.5.7b). Определим скорость движения волны как v -
dzv/dt, где zv есть, например, координата вершины волны. Далее, определим
период
п Имеются в виду координаты вершины волны. - Прим. ред.
6.5. Периодические решения в распределенных системах
351
серии импульсов как время между двумя последовательными прохождениями
Предыдущая << 1 .. 454 455 456 457 458 459 < 460 > 461 462 463 464 465 466 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed