Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
2.3г. Неканонические методы
Для некоторых типов задач изложенные выше классические методы
неприменимы. В первую очередь речь идет об уже упоминавшейся задаче о
дрейфовом движении заряженной частицы в магнитном поле (см. рис. 2.7).
Гамильтониан в этом случае имеет вид
Н-.
2 т
A{q, О
(2.3.34)
где
p - mv-j А (q, t)
(2.3.35)
- канонический импульс, а векторный потенциал А связан с магнитным полем
соотношением В = V X А. Движение заряженной частицы в однородном
магнитном поле В0 хорошо известно и сводится к ларморовскому вращению и
равномерному перемещению вдоль поля. Небольшие неоднородности поля могут
заметно изменить характер движения, приводя как к колебаниям вдоль поля,
так и к поперечному дрейфу (см. рис. 2.7). Очевидно, что при малой
неоднородности поля частота ларморовского вращения велика по сравнению с
частотами колебаний и дрейфа. В качестве малого параметра в уравнениях
движения можно принять отношение х) mie ~ е, что гарантирует большое
значение частоты вращения О = еВ/тс ~ е-1. Однако в гамильтоновой
формулировке (2.3.34) главные члены как по р, так и по А имеют порядок
Ве/тс ~ е-1 и почти сокращаются, что затрудняет оценку порядков величин
по е. Эта трудность связана не с самим дрейфовым приближением, а лишь с
его гамильтоновым описанием 2). Подобные задачи побудили Крылова и
Боголюбова [242], Боголюбова и Зубарева [32], Боголюбова и Митропольского
[33 ] и Крускала [239] сформулировать адиабатическую теорию возмущений
для системы дифференциальных уравнений общего вида, необязательно
гамильтоно-
*) Этот параметр является формальным, поскольку он никак не связан с
реальным возмущением в задаче - с неоднородностью поля.- Прим. ред.
2) Это утверждение спорно, см., например, [468]. Отмеченные трудности
связаны отчасти с тем, что обычно невозмущенным считается движение
частицы в однородном магнитном поле, которое является инфинитным, т. е.
качественно отличается от финитного возмущенного движения частицы в
магнитной ловушке. По поводу другого выбора невозмущенной системы в этой
задаче см. [464].- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
115
вых или необязательно в канонических переменных *). Как и в каноническом
случае, эти методы предполагают наличие быстрой переменной по одной
степени свободы и медленных по остальным степеням свободы и содержат
усреднение на коротком масштабе времени. Будучи эффективными и очень
общими, эти методы неизбежно оказываются и очень громоздкими, особенно в
высших порядках. В канонической формулировке дифференциальные уравнения
получаются из скалярной функции Н; это же касается и преобразования
переменных, которое определяется скалярной производящей функцией. В
случае общего метода усреднения а) эти упрощающие обстоятельства
отсутствуют.
Рассмотрим вначале метод Крускала и проиллюстрируем его на примере
вычисления адиабатического инварианта первого порядка для медленно
изменяющегося гармонического осциллятора. Мы выбрали работу Крускала, а
не Крылова и Боголюбова, поскольку Крускал показывает, как неканонические
возмущенные решения связаны с переменными действия в тех случаях, когда
дифференциальные уравнения можно получить из гамильтониана.
Обращаем внимание читателя на недавно разработанный Литл-джоном [281 ]
метод, в котором используются неканонические переменные, но
дифференциальные уравнения и преобразования переменных определяются, как
и в методе Пуанкаре-Цейпеля, скалярными функциями. Подход Литлджона есть
нечто среднее между классической канонической теорией и общими методами
усреднения Крылова и Крускала (подробнее см. в [281 ]) 3).
Метод усреднения Крускала. Следуя Крускалу, рассмотрим автономную систему
дифференциальных уравнений
x = f(x, г), (2.3.36)
обладающую тем свойством, что при е = 0 (/ =/0 (лг)) траектория х (t)
является замкнутой ("петля"). Прежде всего преобразуем переменные, чтобы
разделить движение на быструю и медленную части. Если х - jV-компонентный
вектор, то должно быть N-1 "медленных" переменных у = у (лг), описывающих
движение самой петли и удовлетворяющих условию
*18=0=(-^г) =/o'V^ = 0. (2.3.37)
\ at /е=0
Б Поскольку это касается работ Боголюбова и его школы, следует заметить,
чго их основной мотивировкой были приложения к широкому кругу задач, в
которых нельзя пренебречь диссипацией и гамильтонов формализм неприменим.
- Прим. ред.
2) См. примечание редактора на с. 104. Используемый здесь и ниже термин
"общий метод усреднения" подчеркивает, что такой метод не ограничен
гамильтоновыми системами.- Прим. ред.
3) Обобщение метода Литлджона на релятивистский случай содержится в
работе [472].- Прим. ред.
116
Глава 2
При этом оставшаяся "быстрая" переменная 0 = 0 (л;), периодическая в
нулевом порядке (е = 0), определяет движение вдоль петли. В новых
переменных уравнения (2.3.36) принимают вид
y = eg{у, 0),
3 / оч (2.3.38)
0 = со(у, 0),
где быстрая фаза 0 связана с одной из медленных переменных г/; которая в
