Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 456

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 450 451 452 453 454 455 < 456 > 457 458 459 460 461 462 .. 742 >> Следующая

узловых точек видоизменяется с помощью следующего алгоритма (здесь снова
е - заданная характерная величина погрешности) .
1. Е1> е. Тогда между Zi и z*_ 1 мы добавляем еще одну узловую точку
(Zi_i + Zi)/2. Приближенное значение решения в этой точке находим
посредством интерполяции по четырем соседним узловым точкам z,_2, zi-\,
z,-, zi+i. Проделаем эту операцию для i- 1,2, ..., п. Далее перенумеруем
узловые точки (добавим новые точки с сохранением порядка), после чего
продолжим вычисления на построенной более густой сетке.
2. Е' < е/ю для i = k и одновременно для i - k-\- 1. В этом случае мы
отбрасываем узловую точку z*. и вновь проводим
д^х 1
') -^2 ~ "дг" (*i-i - 2xi + *i+1). Формула (6.4.20), очевидно, переходит
в простейшую при zt - = z{+l - z{ - h. - Прим. ред.
336
Глава 6
соответствующие вычисления Е1 для соседних узловых точек. Затем
перенумеровываем узловые точки и продолжаем вычисления. При этом значение
ю выбирается обычно в диапазоне 10-20.
3. В остальных случаях сетка не изменяется. При этом бывает удобным
задавать максимальное и минимальное расстояние между двумя соседними
точками.
Для оценки погрешности аппроксимации на неравномерной сетке можно было бы
использовать также соображения, изложенные в предыдущем пункте для случая
равномерной сетки. В последнее время появился ряд работ по этой теме,
см., например, сборник [6.35].
6.4.5. Метод прямых
С методом прямых мы уже встречались в п. 6.3.3 (см. уравнения (6.3.31)).
Его применение оказывается эффективным в тех случаях, когда число узловых
точек сравнительно невелико. Последнего можно добиться увеличением
порядка аппроксимации. В данном пункте на примере системы типа "реакция-
диффузия" (4.3.7) будет продемонстрировано использование этого метода для
случая, когда пространственные производные заменяются разностными
отношениями с пятью узловыми точками. При этом порядок аппроксимации по
сравнению с трехточечной схемой (6.3.31) возрастаете 0(h2) до 0(Л4).
Обозначим Xi(t)tsf " x(zi, t), yt(t) ж y(zi, t) и рассмотрим равномерную
сетку г, = = ih, i - 0, 1, ..., щ h=\/n. Уравнение (4.3.7a) заменяется
системой уравнений dx D
~di~ === 12L2h2 2 "h 16x?_i 30xt -f- 16x^_]_i Xi+2) "|- f (Xi, tfi),
t = 2, 3, ..., n - 2, (6.4.24a)
'lit -'12LW (llxo~ 2Q*i + 6*2 + 4x3 - x4) + f (xu yi), (6.4.24b)
dx , Z) dt = 12L2h2 ^ ^Xn + &Xn_2 +
+ 4xn_3 - xn_4) + f (xn_u ya_j). (6.4.24c)
В случае граничных условий 1-го рода вида (4.3.9), мы имеем Хо(t) ^вх,
xn(i) = х. Для уравнения (4.3.7Ь) соответствующая замена строится
совершенно аналогично. Таким образом, мы получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений, которую можно решить каким-либо из методов,
описанных в § 5.7, например методом Рунге-Кутты.
Необходимо, конечно, представлять, что на величину шага, используемого в
явной схеме интегрирования, накладывается
6.4. Методы динамического моделирования
337
ограничение, которое определяется требованием численной устойчивости.
Если же мы применяем схему интегрирования с автоматическим изменением
шага (например, схему Мерсо-на), то будет выбран относительно короткий
шаг интегрирования (~/i2), что, как правило, приводит к большим затратам
машинного времени.
Использование метода прямых на очень редкой сетке узловых точек (часто
неравномерной) приводит к небольшим системам обыкновенных
дифференциальных уравнений, поведение которых можно достаточно эффективно
анализировать методами, описанными в гл. 5. При этом часто оказывается
возможным перенести полученные качественные выводы на исходные
параболические уравнения; в частности, динамическое моделирование
(численное решение нестационарных уравнений) можно проводить только в тех
областях изменения параметров, где в результате анализа с помощью метода
прямых следует ожидать появления каких-либо интересных эффектов.
Продемонстрируем указанный подход, построив аппроксимацию решения задачи
16 с помощью метода прямых [6.10]. Зададим граничные условия (Р16-13) при
Nu-"-oo, Sh->-oo и выберем п узловых точек г\,г2, ..., rn= 1. Предположим
теперь, что пространственный дифференциальный оператор в уравнении (Р16-
11) заменяется в узловой точке г,- некоторой линейной комбинацией
значений решения в узловых точках, а именно
Коэффициенты Aij находятся из требования, чтобы левая часть соотношения
(6.4.25) точно равнялась правой для функций у = 1, У = т2, у = г4, ..., у
= г2п~2. Последовательно подставляя эти функции в формулу (6.4.25),
получим
При каждом фиксированном / соотношения (6.4.26) представляют собой
систему п линейных алгебраических уравнений
П
(6.4.25)
П
0=1, Аф
* = 1
п
(6.4.26)
Я
(2л - 2) (2л - 3) г2п~4 + у-(2л - 2) rf~3 = ? Atjrf~2.
22 М. Холодниок и др.
338
Глава 6
относительно неизвестных коэффициентов Ац. Найдем решения этих систем при
/ = 1, 2, ..., п - 1 (в случае j = n это оказывается излишним, поскольку
в точке г == 1 у нас задано г/ = 1).
Используя аппроксимацию (6.4.25) для у и 0, мы получаем из исходных
Предыдущая << 1 .. 450 451 452 453 454 455 < 456 > 457 458 459 460 461 462 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed