Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 451

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 445 446 447 448 449 450 < 451 > 452 453 454 455 456 457 .. 742 >> Следующая

" Точный смысл сказанного таков. Разрешив меняться (5, мы получаем
систему Fi(тр, тц, Da, Р) = 0 (i = 1, 2, 3). Ее решение определяет кривую
в пространстве (тц. Г|2, Da, Р), связные компоненты которой можно
находить,, используя какой-либо "алгоритм продолжения". Проекция
найденной кривой на плоскость (Da, Р) дает часть линий бифуркационной
диаграммы. - Прим. ред.
2) Мы называем эти точки точками вторичной комплексной бифуркации.
21 М. Холодннок н др.
322
Глава 6
Таблица 6.10. Метод Ньютона для определения точек поворота в задаче 14-(Y
= 20, В = 15, р = 2, вс = 0, Рем = 10, Рен = 5)
Итерация 4i % Da
0 0,9900 3,5000 0,06000
1 0,9876 3,4704 0,05998
2 0,9872 3,4709 0,05989
3 0,9872 3,4709 0,05989
0 0,8000 7,0000 0,07000
1 0,8646 7,3348 0,06566
2 0,8614 7,1811 0,06734
3 0,8610 7,1773 0,06735
4 0,8610 7,1773 0,06735
0 0,9500 6,0000 0,07000
1 0,9604 5,7672 0,07320
2 0,9590 5,7649 0,07333
3 0,9590 5,7637 0,07332
4 0,9590 5,7637 0,07332
0 0,5000 5,0000 0,10000
1 0,4399 3,3693 0,11790
2 0,3326 2,2190 0,11391
3 0,3261 2,2714 0,10548
4 0,3261 2,2706 0,10575
5 0,3261 2,2706 0,10575
метод имитации динамического поведения для последовательности значений
исследуемого параметра. Начальные условия при этом выбираются в
достаточно малой окрестности стационарного-решения. При таком подходе
можно обнаружить потерю устойчивости стационарного решения в процессе
продолжения этого решения по параметру. Ясно, что указанным способом
можно--находить только те точки комплексной бифуркации, в которых, (при
продвижении вдоль ветви стационарных решений) стационарное решение теряет
устойчивость.
&.З.З.1. Метод прямых - переход к системе с сосредоточенными
параметрами
Другой, более общий подход к нахождению точек комплексной бифуркации
основан на полудискретизации исходных дифференциальных уравнений в
частных производных, т. е. их аппроксимации посредством систем
обыкновенных дифференци-
6.3. Нахождение точек ветвления
323
альных уравнений, методы анализа которых рассматривались в гл. 5.
Рассмотрим, к примеру, систему типа "реакция - диффузия"
(4.3.7) с граничными условиями типа 1 (см. (4.3.9)). Выберем
равномерную сетку узловых точек (Zi-ih, i = 0, 1, ..., п, h- 1 /п) и
обозначим приближенные значения решения в этих точках как
xt (t) ~ х (z{, t), yt (t) ~y{zt, t). (6.3.30)
Аппроксимируем теперь производные по координате z с помощью простейших
(трехточечных) разностных формул. Мы получим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений для t = 1, 2, ..., п - 1:
dx, D
-dT=Tjfc(xi-i - 2Xi + xi+i) + f(Xi' (6.3.31а)
= fo-1 ~ 2у' + + 8 у^
Граничные условия (4.3.9) дают
xQ(t) = x, xn{t) = x, yQ(t)^y, уп (t) =у. (6.3.31b)
Таким образом, мы имеем систему 2 (п-1) обыкновенных дифференциальных
уравнений, для решения которой можно использовать методы, рассмотренные в
§ 5.5. Система (6.3.31а, Ь) представляет собой некоторую аппроксимацию
исходной "распределенной" системы. Погрешность аппроксимации зависит от h
и имеет порядок 0(h2). При уменьшении h (т. е. с увеличением точности
аппроксимации) возрастают размеры системы (6.3.31) и возникают трудности
с вычислением собственных чисел соответствующих матриц. Поэтому
описываемый подход применим лишь для не очень точного нахождения точек
комплексной бифуркации, хотя в некоторых случаях даже при сравнительно
большом шаге h он дает вполне удовлетворительные результаты.
Дискретизацию по координате z можно проводить и с помощью более точных
формул, например посредством ортогональной коллокации. Читателя, который
более глубоко заинтересуется применением метода прямых для нахождения
точек комплексной бифуркации, мы отсылаем к оригинальным работам [6.19,
6.20, 6.21, 6.22].
6.3.3.2. Прямой итерационный метод
Третьим подходом к определению точек комплексной бифуркации, который мы
здесь рассмотрим, является прямой итерационный метод. Этот метод (при
подходящей его реали-
21*
324
Глава 6
зации) позволяет находить точку комплексной бифуркации гораздо точнее.
Результаты, полученные с помощью первых двух подходов, удобно
использовать в качестве начального приближения для прямого итерационного
метода. Обратимся вновь к системе (4.3.7) с граничными условиями типа 1,
т. е. условиями х(0, t) = х(\, t) = х\ y(Q,t) = y(l,t) = y (см. (4.3.9)).
Обозначим через 2 линеаризованный оператор правых частей уравнений
(4.3.7) и вычислим его для стационарного решения x0(z), yo(z), т. е. для
решения уравнений (6.1.1), (6.1.2). Вид
оператора 2 задается выражением (6.3.2) = -^-(x0(z), yQ(z))
и т. д.).
В точке комплексной бифуркации оператор 2 имеет чисто мнимое собственное
число %, = is и, следовательно, имеется ненулевое решение и уравнения
2и = isu; и = ^ ^ • (6.3.32)
Положим u = Ur + tUi, v = Hr + ivi и w = wR + iffli. Отделяя теперь
вещественную и мнимую части в соотношении (6.3.32), находим
2iir = -sub (6.3.33)
2ui = SUr,
или, более подробно,
" . L? rdf . df 1
4+b\.Kv*+djiw*\=-sttl' Vi+-^[^VI+'^'WI]^SVR' (6-3-34)
Предыдущая << 1 .. 445 446 447 448 449 450 < 451 > 452 453 454 455 456 457 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed