Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 2.7. Иерархия адиабатических инвариантов для заряженной частицы в
магнитной ловушке: магнитный момент р, продольный инвариант 7ц, потоковый
инвариант Ф.
так и общий фазовый объем стохастических слоев, по которым идет диффузия,
стремятся к нулю. Поэтому в практических приложениях иерархия
адиабатических инвариантов соответствует истинному движению с очень
хорошей точностью. Адиабатическая теория является и останется впредь
одним из плодотворных подходов к пониманию движения в динамических
системах.
* 2.3в. Медленно изменяющийся гармонический осциллятор
С целью иллюстрации общего метода и резонансных эффектов вычислим
адиабатический инвариант первого порядка для медленно изменяющегося
линейного осциллятора
Н, = -L- G (т) P' + ^F (т) ф, (2.3.23)
где малый параметр введен посредством переменной т = et. Вначале
перейдем к переменным действие ¦- угол J, 0 для
невозму-
щенного гамильтониана Нщ = Я/ (е = 0) с помощью производящей функции
Fi(q, 9. т)= ^-^2ctg0, (2.3.24)
112
Глава 2
где R (г) = (FIG)12. Из (1.2.11) получаем уравнения преобразований
(1.2.68) и новый гамильтониан
Я = со0/ + е - У sin 20. (2.3.25)
2 R
Здесь со0 (т) = (ГG)x 2, а штрих означает дифференцирование по т. Наша
система приведена теперь к виду (2.3.6) и допускает применение метода
Пуанкаре-Цейпеля.В нулевом порядке адиабатическим инвариантом является
J = = const, (2.3.26)
ш0
т. е. число квантов ho0 сохраняется при медленном изменении частоты
осциллятора [114]. Для определения инварианта первого порядка применим
выражение (2.3.20) к гамильтониану (2.3.25), что сразу даст
J = J (1 -f гР sin 20) = const, (2.8.27)
где Р (et) = Р72со0Р. Видно, что в первом порядке величина J испытывает
небольшие колебания с частотой, в 2 раза превышающей частоту осциллятора.
Постоянство / можно проверить, взяв производную по времени (обозначена
точкой) от (2.3.27),
J = j + еР У sin 29 ф- 2eto0JP cos 29 -f б (ег). (2.3.28)
В силу канонических уравнений для гамильтониана (2.3.25) первый и третий
члены сокращаются и в первом порядке по е остается
7 = еР/sin 20. (2.3.29)
Если медленное возмущение имеет обычный порядок малости, т. е.
Р - еР, то J ~ е3 и, следовательно, J является инвариантом первого
порядка.
Прохождение через резонанс. Рассмотрим теперь изменение адиабатического
инварианта, обусловленное резонансами между колебаниями осциллятора и
медленными периодическими изменениями
его параметров. Разложим Р в ряд Фурье
Р = гЦ (2.3.30)
пф 0
здесь ecOi - частота медленных изменений, причем отношение
Каноническая теория возмущений
113
(r) порядка единицы. Подставляя выражение для Р в формулу 2.3.29), получаем
Т= 7 2 an[ei(na>'ei+2e) - ei(na>lEt-2e>}, (2.3.31)1)
2 i пф о
где мы заменили / на / с точностью до величин первого
порядка
по е. Интегрирование (2.3.31) по периоду медленных колебаний
дает AJ/J - е2, если частоты и <о0 несоизмеримы. В противном случае, т.
е. при
-, (2.3.32)
есо! 2
где s - целое число порядка е-1, члены суммы с п - ± s не зависят от
времени и интеграл по периоду медленных колебаний дает
- ея | as [ - 2я-- ~ е. (2.3.33)
Таким образом, если резонанс поддерживается в течение времени tp ~ 2яе-
1/(й1, то инвариант первого порядка разрушается, что свидетельствует о
сильном нарушении адиабатичности2). Это не означает, однако, что интеграл
движения вообще не существует, просто он имеет другой вид. Действительно,
в п. 1.36 мы видели, что линейный осциллятор (2.3.23) с периодически
изменяющимися во времени коэффициентами является интегрируемой системой,
откуда и следует существование некоторого интеграла движения. С другой
стороны, для нелинейного осциллятора возможно как сохранение
невозмущенного интеграла движения, так и его топологическое изменение или
полное разрушение. Хотя нелинейный
*) Соотношение (2.3.31) справедливо только по порядку величины, так как
уравнение (2.3.29) содержит еще одно слагаемое гР j sin 20 = =
e2PVwosin40 (см. (2.3.27) (. Для нижеследующих оценок это, однако,
несущественно.- Прим. ред.
2) Связь рассмотренной задачи с прохождением резонанса требует
пояснения. Пусть, например, Р (т) = P0cos ( А03 Н -sin (тсо х) } -
частотно-
V СО! )
модулированное возмущение с частотой ?3 (т) = А0 -f- Я cos (тсох).
Резонанс проходится, если при некотором т ~ хр частота Q (%р) = со0. В
этом случае амплитуда |<zs| ~ г~1 2 и AJ/J ~ х/е, что уточняет оценку
(2.3.33). Вряд ли можно говорить о сильном нарушении адиабатичности [на
интервале времени ~ (бац)-1], так как А/ < J. Однако даже первая поправка
к J (2.3.27) уже теряет смысл. Если же резонанс не проходится, т. е. А
(т) Ф ш0 для любого т, то амплитуда а, экспоненциально мала и адиаба-
тичность имеет место в полной мере. Различные режимы прохождения
резонанса, в том числе и для нелинейного осциллятора, исследованы,
например, в работах [466, 68, 467].- Прим. ред.
114
Глава 2
осциллятор представляет больший интерес, мы ограничились здесь линейной
системой в целях иллюстрации методов построения разложений.
