Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
более сложным (вторичным) бифуркациям.
6.3.1. Первичные бифуркации
Некоторые задачи обладают так называемыми тривиальными решениями, не
зависящими от части параметров. К ним, в частности, относятся системы
типа "реакция - диффузия", описанные в гл. 4. Тривиальное стационарное
решение для такой двухкомпонентной системы (4.3.5), (4.3.6) однородно по
пространству, т. е. имеет вид
x(z)zsx, y(z) = y. (6.3.1)
¦Оно не зависит от величины параметра L, задающего размеры системы, а
также от величины коэффициентов диффузии Dx и Dy.
Значения х и у определяются уравнениями f(x,y) - 0, g{x, у) = 0 и могут,
естественно, зависеть от параметров, входящих в функции fug. При
изменении этих параметров могут происходить бифуркации, не нарушающие
пространственной однородности. Их можно исследовать методами, описанными
в гл. 5.
В этом пункте мы рассмотрим бифуркации тривиальных решений, нарушающие
пространственную однородность и связан-
6.3. Нахождение точек ветвления
313
ные с изменением параметра L - размера системы. Такие бифуркации мы будем
называть первичными.
Устойчивость тривиального решения (6.3.1) определяется собственными
числамилинеаризованного оператора [2.32]
.. ?>х d2 ,
L2 dz2 "г"011' а'2
Dv d2
021 U!*+<h2
(6.3.2)
при соответствующих (однородных) граничных условиях (типа ГУ2 или ГУ1).
Здесь
df(x,y) df (х, 9)
(6.3.3)
"ч- Тх ' аи- ду
dg (х, у) " dg (х, у) дх 1 й22-~Ту '
Тривиальное решение (х, у) устойчиво, если все собственные числа
оператора 9 имеют отрицательную вещественную часть и неустойчиво, если
хотя бы одно собственное число имеет положительную вещественную часть.
Обсудим теперь устойчивость тривиального решения в зависимости от
величины параметра L и типа граничных условий. Рассмотрим сначала очень
малые L. В случае ГУ1 при L +0 (точнее, при L < Z,min) всякое тривиальное
решение будет устойчивым [6.17]. В случае же ГУ2 вопрос об устойчивости
при L-*- 0 решается в зависимости от поведения системы при отсутствии
пространственных градиентов. (Более формально - от поведения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся при Dx - Dу = 0).
Именно, если все собственные числа матрицы
Г "И" "121
L "21. "22 J
лежат в левой (комплексной) полуплоскости, тривиальное решение будет
устойчивым в случае ГУ2 при Z- ->-(-0. Наоборот, наличие собственного
числа матрицы А с положительной вещественной частью влечет за собой
неустойчивость тривиального решения в случае ГУ2.
С ростом L какое-нибудь из собственных чисел оператора 9 может пересечь
мнимую ось. При этом в результате веществен-
п Точнее, спектром подробности см. в работе [2.32]. (Здесь это уточнение
не нужно: спектр оператора & совпадает с совокупностью его собственных
значений. - Ред.)
314
Глава 6
ной или комплексной бифуркации (бифуркации Андронова - Хопфа) может
появиться новое решение (нелинейной) задачи. Значение параметра L,
соответствующее первичной бифуркации, называют первичной бифуркационной
длиной. Это значение находится следующим образом.
В рассматриваемом случае (тривиального стационарного решения) оператор S
имеет постоянные коэффициенты и его собственные функции выписываются в
явном виде. А именно:
в случае ГУ1: u = [сп sin (ляг), sin (ляг)], n= 1, 2,
(6.3.4)
в случае ГУ2: и = [сп cos (nnz), dn cos {nnz)], л = 0, 1, 2........
Подставив эти выражения в равенство Sxl = км., мы получаем: 1)
собственное число к оператора S, соответствующее собственной функции
(6.3.4) или (6.3.5) при определенном значении я, одновременно является
собственным числом матрицы
которая имеет один и тот же вид для ГУ1 и ГУ2; 2) вектор ^ ) есть
собственный вектор матрицы А". Собственныечисла к
Для того, чтобы к = 0 было собственным числом оператора S, т. е. чтобы
имела место вещественная бифуркация, необходимо б, чтобы при некотором я
Для точки первичной комплексной бифуркации должно выполняться условие
*> Поскольку все собственные функции & имеют вид (6.3.4) (или <6.3.5)). -
Прим. ред.
(6.3.5)
-Ас Ап) + "и, "21.
"12
-DyE(n) + 022
]•
(6.3.6)
матрицы Ап - корни характеристического уравнения
k*-Pn(L)k + Qn(L) = О,
(6.3.7)
где
Рп {L) - аП + 022 - (Ас + Dy) Е(п), (6.3.8)
Qn (L) = DxDyE2n) - (А"22 + А,"п) ^(п) "t" аиа22 - а12а21- (6-3-9)
<з"а)=о.
(6.3.10)
РЛЬ) = О, Qn(L)> 0.
(6.3.11)
6.3. Нахождение точек ветвления
315
Значение которое удовлетворяет соотношению (6.3.10), не
'(П.)
зависит от га:
1.2 2 D
{^х<222 + Dyan ± [(Dxa22 + Dyan)2
4Z)xZ)y (апа22 flia^i)]^2}* (6.3.12)
Мы можем получить два, одно или ни одного значения Е*, для которых имеет
место вещественная бифуркация. После этого находим бифуркационную длину
/*
(я) I,:
ля
д/<2 '
если ?* > 0. Из последней формулы также следует, что
(6.3.13)
т* _"г* ^(я) "^(1)
(6.3.14)
для обеих групп бифуркационных длин (определяемых индексами 1 и 2 в
выражении (6.3.13)). Величину L*(l) называют эле-
<<1 л2 лз *4 <<0 5 10 В
Рис. 6.10. Бифуркационная диаграмма первичных бифуркаций; а) общая схема,
