Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
0,02 0,5580 0,5579
0,01 0,5550 0,5560
0,002 0,5528 0,5527
296
Глава 6
решить систему 40 линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной
матрицей. Тем самым было найдено 500 точек на диаграмме, описывающей
зависимость стационарного решения от параметра.
Применение метода дифференцирования по параметру мы продемонстрировали на
примере одного уравнения второго порядка. Переход к системе таких
уравнений также не представляет особых трудностей - при этом лишь
увеличится размерность решаемых задач и вместо трехдиагональной мы будем
иметь дело с ленточной матрицей. Читатель может легко вывести
соответствующие уравнения в частных производных для1 задач 11, 12, 13,
14. Задача 17 была решена этим методом в работе [6.12]. В следующем
пункте описывается модификация данного метода, с помощью которой мы можем
проходить точки, поворота на диаграмме стационарных решений.
6.2.2. Метод дифференцирования по граничному условию
Обратимся вновь к задаче (6.2.1), (6.2.2), предполагая, что* ЬаФ§. В
качестве нового "параметра" задачи | введем значение решения в точке 2 =
0:
г/(0) = 1. (6.2.14>
Решение у задачи (6.2.1), (6.2.2) будет зависеть от
пространственной переменной г и параметра |, т. е. y = y{z,\)~
Дифференцируя уравнение (6.2.1) по ?, находим
д3у df ду df д2у df_ZdaL_() /coicv
дг*д1 ду д% ду' дгд% да dg
Граничные условия (6.2.2) принимают вид
аоУ(0, 1)+ Ь0 dyfz S) =с0, а{у (1, S) + 6i ду'^1- =сь (6.2.16а)*
причем из формулы (6.2.14) следует, что
у(0, 1) = Е. (6.2.16Ь)
Теперь а есть функция от |, и в уравнение (6.2.15) входит неизвестная
величина
C - da/d?,. (6.2.17)*
Поэтому три граничных условия (6.2.16) не делают задачу переопределенной.
Начальное условие для продолжения по параметру мы задаем в форме
I = Ео: а = cto, у (Z, 1о) = Ф (г),
(6.2.18>
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
297
где функция ф(z) есть решение исходной краевой задачи
(6.2.1), (6.2.2) при ос = ао и ф(0) = ?о- В этом случае функцию ф(г)
часто можно найти в аналитическом виде для некоторого промежуточного
значения параметра а.
Дифференциальное уравнение в частных производных (6.2.15), точно так же,
как и в предыдущем пункте, нетрудно аппроксимировать соответствующими
разностными уравнениями. Обозначим z{ = ih, i - 0,1,..., п, = Е0 + jk,
/=1,2,...,
~а;., h = 1/га. Тогда разностная аппроксимация уравнений (6.2.15) и
(6.2.16) приводит к соотношениям
4-Xy{t\ + s[y\+l + s>+lylX\ +r[C = q[, i = 0, 1, ..., n, (6.2.19a>
a0y(,+l + К (y{+1 - yiJil)/2h= c0, (6.2.19b)
aiyL+1 + bi {У'пУх ~ y'n-\)/2k = cp (6.2.19c)
yl+l = l, + k. (6.2.19d)
Коэффициенты sj-i, si, sf+i, r{, q[ вычисляются с помощью известных
значений решения яа предыдущем "слое" при g = |/ (т. е. при а = а,).
Соотношения (6.2.19) представляют собой ¦систему п + 4 линейных
алгебраических уравнений относительно л+ 4 неизвестных ... , yj+}р С с
почти ленточной матрицей. Решив эту систему, мы получим значения решения
у>+1 для | = i/+i = ?/ + k. Для нахождения ос воспользуемся методом
Эйлера, т. е. формулой
а/+1 = о,] kC, (6.2.20)
которая следует из уравнения (6.2.17).
Продемонстрируем применение метода дифференцирования по граничному
условию на примере задачи 16. По аналогии с уравнением (6.2.11) найдем
производную уравнения (6.1.21) по g = z/(0), рассматривая его как
уравнение относительно
у(г,%), 8(g) (8 = Ф2, при сравнении с общими формулами
(6.2.1) и (6.2.15) г = гиа = 6):
-Ли -Д- д2У _ 6 Г1________________________ ЛЕ!и)ЁУ--
дг*дi Г drdi Ч1 (i + p(i-#))*J
-уЕ(у)Л^ = 0. (6.2.21 >
Граничные условия записываются в виде
ау?а-0, у( 1,Е)=1, У (0, I) = I. (6.2.22)
298
Глава 6
При 6о = 0 решение задачи (6.2.1) и (6.2.2) (здесь - уравнения (6.1.21)
при условиях z/'(0) = 0, #(1)=1) имеет вид, y(r)= 1 и, следовательно,
можно положить
?о - 1: У (r> 1) = 1 > в(1) = 0. (6.2.23>
В табл. 6.7 показано влияние шагов h и & на точность получаемых
результатов. Ясно, что найденные значения решения даже при сравнительно
большом числе шагов по переменной | не слишком точны. Это лишь
подтверждает наши выводы, сделанные в п. 5.2.2, о том, что сам по себе
метод дифференцирования по параметру (или по граничному условию) не
доставляет эффективного алгоритма для продолжения решения по параметру.
Эффективный алгоритм, в котором вышеприведенные методы используются в
качестве предиктора, а метод Ньютона - в качестве корректора, будет
рассмотрен нами в следующем пункте.
Таблица 6.7. Метод дифференцирования по граничному условию для задачи 16
(а = 0, у = 20, Р = 0,05). Приведены значения параметра 6 = Ф2 при | =
у(0) = 0,5 (точное значение равно 6 = 1,1546).
Видно влияние шагов huh.
k й = 0,1 h=0,025
-0,05 1,1266 1,1263
-0,02 1,1432 1,1428
-0,01 1,1490 1,1486
-0,005 1,1520 1,1516
В заключение этого пункта отметим, что метод дифференцирования по
граничному условию позволяет проходить точки поворота на диаграмме
решений (построенной по параметру а), но не способен, однако,
преодолевать точки, где d%/da = Q (т. е. С = оо). Более подробный анализ
