Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
19 М. Холодниок и др.
290
Глава 6
может не быть эквидистантной. В практических задачах эта сетка узловых
точек выбирается гораздо менее плотной, чем при использовании метода
конечных разностей.
На каждом подынтервале [zf, zi+1], i = 0, ..., п-1 уравнения (6.1.1),
(6.1.2) интегрируются независимо. Для этого нам необходимо задать
начальные условия в точках z,-, i = 0,
..., п-1; эти начальные значения мы обозначим как тр. В точке го = 0 уже
заданы два условия (6.1.4а), и поэтому здесь, аналогично тому, как это
делалось в п. 6.1.2, мы выбираем два дополнительных условия вида
(6.1.24). При этом вектор т)о будет иметь только две составляющих rjoi
=х(0) и 1102 = = у{0). Остальные векторы тр, t=l, ..., п-1 будут иметь по
четыре составляющих
4i = (X (Zi), х' (zt), у (г,), у' (Z[)). (6.1.45)
Обозначим решение соответствующей задачи Коши на каждом подынтервале [z*,
z,+i] через x(z) = x(z; гг.тр) (и аналогично для x'(z), y{z), y'(z)).
Метод многократной стрельбы состоит в следующем: так подобрать векторы
тр, г = 0, ... ..., п-1, чтобы функции x(z), x'(z), y(z), у (z),
полученные "частями" на отдельных подынтервалах [zi, zi+\], оказались
непрерывными и чтобы при этом были удовлетворены граничные условия
(6.1.4Ь).
Для этого в точках zi, i= 1, ..., п- 1, должны выполняться условия
fa fa; zt_ь ч,.,), х'(zt; zf_b i|i-i), У fa; z,_b Пг-i), /e ,
<и-,))=ч" (6Л'46)
а в точке zn= 1 (в соответствии с условиями (6.1.4b)) должны быть
выполнены соотношения
x'(U гп_и Ч"-1) = 0, y'(U zn-1, 4n-i) = 0. (6.1.47)
Уравнения (6.1.46) и (6.1.47) представляют собой систему из 4(п-1) + 2
нелинейных уравнений относительно 4(п-1)+2 неизвестных - составляющих
векторов ц0,Чь •••.'Пп-ь Эти уравнения можно решать с помощью любого
подходящего метода (например, с помощью метода Ньютона). Для вычисления
матрицы Якоби можно опять использовать вариационные дифференциальные
уравнения (см. п. 6.1.2). Указанный алгоритм легко модифицируется на
случай ГУ1 и ГУЗ; при этом в случае ГУЗ мы выбираем две неизвестных,
например х(0), у(0), а затем из уравнений (6.1.5а) находим остальные
неизвестные, т. е. x'(0), z/'(0). Далее, с помощью условий (6.1.5Ь) мы
легко получаем соотношения, аналогичные (6.1.47).
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
291
6.2. ЗАВИСИМОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИИ ОТ ПАРАМЕТРА
Так же как и для "сосредоточенных" систем (описываемых обыкновенными
дифференциальными уравнениями, см. § 5.2),
Рис. 6.2. Диаграмма стационарных решений задачи 17, Re = 625.
существует целый ряд методов и подходов, позволяющих находить зависимость
стационарных решений от параметров в случае "распределенных" систем,
описываемых уравнениями
19*
292
Глава 6
с частными производными. Набор методов оказывается здесь даже более
широким, поскольку здесь есть еще и проблема аппроксимации задачи в
бесконечномерном пространстве посредством задачи в пространстве конечной
размерности.
Наиболее простым подходом является, конечно, последовательное
использование какого-либо метода предыдущего параграфа для каждого
значения параметра. Слова "наиболее простым" означают, что при этом мы не
должны строить специальный алгоритм продолжения по параметру. Недостатком
подобного подхода является, однако, необходимость осуществлять переходы
через точки бифуркации с помощью вмешательства человека. В результате
время, которое необходимо затратить в этом случае на диалог "человек-
машина", существенно возрастает. Иногда, тем не менее, предпочтение
отдается именно этому подходу, особенно в случаях, когда нам нужно
построить лишь небольшую совокупность решений (задан небольшой диапазон
значений параметра) или же в случаях, когда частое появление
бифуркационных значений параметра не ожидается.
Результаты последовательного использования метода Ньютона для системы
разностных уравнений (6.1.23), которая возникает в задаче 17,
представлены на диаграмме стационарных решений, показанной на рис. 6.2. В
данном случае уже само решение системы (6.1.23) для больших п являлось
достаточно серьезной проблемой.
В последующих пунктах мы рассмотрим методы продолжения по параметру
стационарных решений для распределенных систем. Там, где это окажется
более целесообразным, описание соответствующей методики будет проводиться
на примерах конкретных задач из гл. 4.
Отметим, что методы, изложенные в п. 6.2.1 и 6.2.2, могут использоваться
в качестве предиктора в схеме типа "предиктор-корректор", описанной в п.
6.2.3, аналогично тому, как это делалось в § 5.2.
6.2.1. Метод дифференцирования по параметру
Рассматриваемая здесь методика аналогична описанной в п. 5.2.2 для
конечномерных задач. Продемонстрируем здесь одну из возможных численных
реализаций этого метода на примере продолжения по параметру ос решения
краевой задачи для (одного) дифференциального уравнения второго порядка
(' - ¦ d/dz)
У"- f(z, у, у', а) = 0 (6.2.1)
6.2. Зависимость стационарных решений от параметра
293
<с граничными условиями
