Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Используем для решения этой задачи метод стрельбы. Два недостающих
начальных условия опять выберем в точке z= 1 в форме (6.1.37). Затем
проинтегрируем уравнения (Р15-6), (Р15-7) с начальными условиями
(6.1.36Ь) и (6.1.37) на промежутке от z = 1 до z = 0. На каждом шаге
интегрирования нам необходимо вычислять правые части дифференциальных
уравнений, в которые наряду с параметрами и значениями функций у и 0,
входят также значения функций (c)| и 0. Эти значения определяются из формул
(Р15-11) и (Р15-10). После проведенного таким образом интегрирования,
когда на каждом шаге решается одно нелинейное уравнение, мы получаем в
точке z = 0 систему двух уравнений (6.1.38) относительно двух неизвестных
тр и г)2- Эта система может быть решена методом Ньютона с использованием
вариационных уравнений для переменных
РУ1=дУ1дл1/. Рег = <5в/<4-. * = 1, 2. (6.1.39)
Первое из этих уравнений имеет вид
Рух ~ РемР^1 + РемУм {-^-Рух + ЖР*х ~ Рух) = °- (6-1.40)
Из этого примера видно, что наряду с вариационными переменными,
определяемыми формулами (6.1.39), у нас возникают еще и другие переменные
да да дв дв ,.
W ~д@' ~ду' ( Л'41)
Значения этих переменных на каждом шаге интегрирования вычисляются из
соотношений (Р15-8), (Р15-9), определяющих
(c) = (c)(г/, 0) и 0 = в (г/, 0). Запишем их в виде
Gi{y, 0, (c), 0) = 0, г = 1, 2. (6.1.42)
Предположим, что функции G; удовлетворяют условиям теоремы о неявных
функциях, и пусть значения (c)(#,0) и в (у, 0)
288
Глава 6
для заданных;# и (c) найдены. Тогда производные (6.1.41) можно найти, решая
две системы линейных алгебраических уравнений
- да - Г dGt 1
~д<Г ду
дв dG2
- ду - L ду
- да - - dGt -|
"Ж 50
дв - 5G2
- дв - -50-1
(6.1.43а)
(6.1.43Ь)
где dGi/dy = - /м, дй2/ду - 0, dGi/dQ = 0, а матрица Г определяется как
г i,dGl
да дй2 L да
dGi
50
ао2
50
dG2/d@ = -J и,
(6.1.44)
Описанный подход несложно реализовать в случае, когда нелинейное
уравнение (Р15-11) имеет одно и только одно решением, которое должно
удовлетворять естественному с физической точки зрения требованию у С (c) <
1 (см. формулу (Р15-5)).
Значительные сложности возникают тогда, когда уравнение (Р15-11) при
определенной комбинации параметров и переменных у и (c) будет иметь
несколько допустимых решений (как правило, три различных решения (c)).
Такая ситуация имеет место, в частности, при больших значениях параметра
В. В этом случае метод Ньютона, используемый для решения уравнения (Р15-
11), может оказаться расходящимся или же будет сходиться к какому-либо
другому решению, а не к тому, которое ожидалось. В зависимости от того,
какой из корней уравнения (Р15-11) выбрать, получаются различные функции
y(z) и @(z).
Из физических соображений (в случае трех решений) интерес представляют
прежде всего два крайних решения (c) уравнения (Р15-11), а именно значение
со, лежащее в окрестности значения #, о > у (так называемое нижнее
решение), и корень, располагающийся в окрестности 1, (c) < 1 (так
называемое верхнее решение). При решении дифференциальных уравнений (Р15-
6), (Р15-7) мы поступаем следующим образом: в областях параметров, где
существует несколько решений уравнения (Р15-11), мы всегда рассматриваем
(если это возможно) только нижнее решение (c) (или соответственно верхнее
решение (c)) и
Обычно связанных с устойчивостью найденных распределений концентраций и
температуры. - Прим. ред.
6.1. Стационарные решения
289
тем самым получаем два различных (основных) решения дифференциальных
уравнений. Еели же комбинировать на разных подынтервалах ze[0, 1] верхнее
и нижнее решения (c), то мы получим разрывные профили (c)(z), 0(z).
На рис. 6.1а приведены профили 0(z), y(z), (c)(z), 0(z), найденные для
случая, когда при всех z выбиралось нижнее решение (c) уравнения (Р15-11).
На рис. 6.lb представлен пример профилей решений (для тех же значений
параметров), когда
1 0,499J 0,5015
Рис. 6.1. Аксиальные профили конверсии и температуры, задача 15; Da = =
0,065, Рем = 20, Ре" = 10, 0 = 1, В = 15, у = 20, вс = 0, 1М = 1Н = 25;
а) непрерывные профили ш и 0, Ь) разрывные профили шив.
(r)(z) и 0(2) не являются непрерывными функциями (на промежутке 2 е
[0,4995; 0,5015] мы рассматривали верхнее решение (c)). Из сравнения
рисунков видно, что профили решений y(z) и @(z) изменились.
6.1.3. Метод многократной стрельбы
Метод стрельбы, описанный в предыдущем пункте, иногда не позволяет
получить удовлетворительные результаты. Так, решение соответствующих
задач Коши (включая дифференциальные уравнения в вариациях) может
оказаться практически невозможным при наличии сильной чувствительности к
начальным условиям. В таких случаях часто оказывается удобным
использовать метод многократной стрельбы (см., например, [6.34]).
Опишем кратко идею этого метода на примере задачи (6.1.1),
(6.1.2) с граничными условиями ГУ2 вида (6.1.4). По аналогии с п.
6.1.1 выберем на промежутке ze[0, 1] сетку узловых точек 2о = 0, zi, ...,
z"=l, z/+i > Zi, которая, вообще говоря,
