Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 44

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 742 >> Следующая


<#1>ё=нМ н1<(r) (2.3.16)
2л о
и переменную часть
1 Я1}ё = Я1-(Я1)5. (2.3.16)
Каноническая теория возмущений
109
Разделение (2.3.14) на среднюю и переменную части дает для Я в первом
порядке
Я (7, еу, et)=H0+e(H1)e, (2.3.17)
причем легко находится из уравнения
со (2.3.18)
30
Адиабатическим инвариантом нулевого порядка является невозмущенное
действие /. В первом порядке новым инвариантом будет J, для которого в
старых переменных из (2.3.9а) имеем *)
7(7, 9, еу, е0 = 7-е-§-, (2.3.19)
<70
или с учетом (2.3.18)
7 = 7-f -TL (tfijg. (2.3.20)
Фактически любую функцию от J можно взять в качестве адиабатического
инварианта.
Малые знаменатели. Где же сингулярности, с которыми мы столкнулись в п.
2.26 и которые препятствовали сходимости рядов? Их проще всего
обнаружить, если принять, что в первом порядке по е величины у являются
переменными действие - угол: у = = (Jy, 0"). В этом случае, не опуская
членов (2.3.11) и dS^dt, вместо выражения (2.3.18) получаем
со ^ +ею"~^- +еТГ77 =-{Я1)ё- (2.3.2i)
30 3 (еву) d(et)
Так как функции и (Я^ периодичны по всем угловым переменным и по Qt, их
можно разложить в ряд Фурье
s = I я1* (^' Jy) gi (ke+m-Eby+lQet) /2 g 22)
1 k(t> 4- ет •<"!/ + e/Q
n~(k, I, m) k=i 0
Отсюда видно, что малые знаменатели возникают вследствие резонансов
высокого порядка (ш, I - большие числа) между медленными и быстрыми
колебаниями. Вблизи этих резонансов нельзя пренебрегать членами порядка е
в (2.3.21). Поэтому нет ничего
1) Нижеследующие соотношения справедливы, вообще говоря, только в том
(редком) случае, когда невозмущенная система Н0 (е) интегрируема как при
8=0, так и при е ф 0, несмотря на явную зависимость от времени и
многомерность. Иначе поправки к адиабатическому инварианту будут зависеть
и от функции На (е).- Прим. ред.
110
Глава 2
удивительного в том, что адиабатические ряды, в которых резонансные
эффекты не учитываются, оказываются асимптотическими, т. е. формально
расходящимися и справедливыми лишь для интервалов времени, меньших или
порядка характерного времени медленных изменений 2).
Описанное выше адиабатическое разложение можно выполнить и в более
высоких порядках. В каждом порядке необходимо решать уравнение для 5",
подобное уравнению (2.3.18) для При этом резонансные знаменатели никогда
не появляются, а их действие все время отодвигается во все более высокие
порядки. Выражения для адиабатических инвариантов высших порядков
приведены в § 2.5.
Иерархия инвариантов. Построение адиабатического инварианта, если он
действительно существует, фактически снижает число степеней свободы с N
до N-1 (в пределах точности адиабатического приближения). Это происходит
потому, что задаваемый асимптотическим рядом по степеням е
преобразованный гамильтониан
Н = Н U, еу, et, е)
не зависит от 0, а / - константа. Если среди оставшихся степеней свободы
найдется еще одна, колебания по которой являются быстрыми по сравнению с
другими, то можно ввести второй малый параметр е2, перейти к переменным
действие - угол по этому быстрому движению для невозмущенной (е3 = 0)
системы и найти второй адиабатический инвариант. Этот процесс можно
продолжить, что приведет к возникновению иерархии инвариантов и
эффективному снижению числа степеней свободы вплоть до единицы. Такая
ситуация хорошо известна в физике плазмы для движения заряженной частицы
в магнитной ловушке. Вначале определяется инвариант, связанный с быстрым
ларморовским вращением, - магнитный момент р, затем - продольный
инвариант Уц, отвечающий более медленным колебаниям между магнитными
пробками, и, наконец,- потоковый инвариант Ф, связанный с дрейфовым
движением. Эти три степени свободы показаны на рис. 2.7 (более подробное
обсуждение данной задачи можно найти в работе [175]). В рассматриваемом
случае тремя малыми параметрами являются: 1) е - отношение частоты
продольных колебаний к ларморовской частоте; 2) е2 - отношение частоты
дрейфового движения к частоте продольных колебаний и 3) е3 - отношение
частоты изменения во времени магнитного поля к дрейфовой частоте.
Вся иерархия инвариантов ограничена условиями справедливости
адиабатической теории, и резонансы могут привести к изме-
1) Поскольку резонансные эффекты, вообще говоря, экспоненциально малы,
их влияние, например в виде диффузии Арнольда, проявляется на значительно
большем масштабе времени (см. § 6.2).-¦ Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
111
нению пли разрушению этих инвариантов. Для частицы, движущейся в
статической магнитной ловушке, такие процессы были исследованы Чириковым
167, 70]. Аналогичные исследования для частицы, находящейся в ловушке и
взаимодействующей с переменным электрическим полем, были проведены Егером
и др. [212], а также Либерманом и Лихтенбергом [274]. В случае более чем
двух степеней свободы частицы подвержены диффузии Арнольда даже при
отсутствии перекрытия первичных резонансов. Однако, как показано в гл. 6,
при е 0 как скорость диффузии Арнольда,
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed