Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
6. (6.1.8) при г = 2,
2п- 1. (6.1.7) при г = и - 1,
2л. (6.1.8) при i - n- 1,
2л + 1. (6.1.12а),
2л+ 2. (6.1.12b).
Мы получили систему нелинейных уравнений со специальной структурой
вхождения неизвестных в уравнениях. Для описания этой структуры вводится
специальная схема (матрица) размещения, имеющая столько строк, сколько
исходная система уравнений, и столько столбцов, сколько неизвестных
имеется в системе. Элементами матрицы размещения служат либо нули
(неизвестная в соответствующем уравнении не фигурирует), либо крестики
(неизвестная входит в соответствующее уравнение). Таким образом, первые
шесть строк матрицы размещения для системы (6.1.13) - (6.1.14) имеют вид
х х х 0....................О
х х 0 х 0.................О
хОхххО.....................О
ОхххОхО....................О
О 0 х 0 х х х 0............О
ОООхххОхО . . . .0
Читатель может легко достроить матрицу размещения и убедиться,
что она является пятидиагональной (это означает, что
крестики располагаются на главной диагонали и на четырех соседних
диагоналях). Отметим, что в данном случае матрица Якоби системы также
будет пятидиагональной. Если теперь для
6.1. Стационарные решения
277
решения этой системы применить метод Ньютона, то на каждом шаге итераций
нужно будет решать систему линейных алгебраических уравнений с
пятидиагональной матрицей. При этом можно воспользоваться алгоритмом,
основанным на методе исключения Гаусса, в котором учитываются лишь
элементы на указанных пяти диагоналях.
Применим теперь метод конечных разностей для нахождения стационарного
решения задачи 16. Это стационарное решение описывается
соотношениями (см. уравнения (Р16-11),
(Р16-12))
У" + -уУ'~ Ф2!/ ехр ^9-= 0, (6.1.15а)
0" 4- 0' урф2у ехр t +е^ = Q, (6.1,15Ь)
а граничные условия (Р16-13), (Р16-14) принимают вид
у' (0) = 0, (6.1.16а)
е'(о) = о, (6.i.i6b)
^W + 'STT^1^1' (бЛЛбс)
Q(l)+^(l) = Q. (6.1.16d)
Иногда при вычислении стационарного решения удается понизить размерность
исходной задачи. Продемонстрируем эту возможность на данном примере,
предполагая Nu = Sh. Умножая уравнение (6.1.15а) на множитель ур,
складывая результат
с уравнением (6.1.15Ь) и вводя обозначение
ы = ург/ + 0, (6.1.17)
мы получаем уравнение
и"+ -?-"' = 0. (6.1.18)
Граничные условия (6.1.16а, Ь, с, d) переписываются в виде
и,(0) = 0, (6.1.19а)
tt(l) + -J-"'(l) = Yp. (6.1.19b)
Левая часть уравнения (6.1.18) равняется [гаи']'/га, откуда с
использованием (6.1.19а) находим и'= 0. Интегрируя, имеем и = С, и из
условия (6.1.19Ь) следует, что и(г) = ур. Теперь из формулы (6.1.17)
вытекает зависимость между 9 и у
0=уР(1-у). (6.1.20)
278
Глава 6
Заметим, что при Nu^Sh это соотношение оказывается несправедливым. Таким
образом, система (6.1.15) - (6.1.16) сводится к краевой задаче для одного
дифференциального уравнения второго порядка
У"+ ~ у'- Ф2У ехр 1 + р\ГД) ='0 <6 '1 '21 >
с граничными условиями (6.1.16а, с). Рассмотрим далее для простоты
предельный случай Nu-э-оо, Sh->oo (см. гл. 4, задача 16). Выберем сетку
узловых точек следующим образом: п = ih, i = 0, 1, ..., п, h = 1/п. Тогда
разностный аналог уравнения (6.1.21) принимает вид
+Д. _^|exp _о,
/=1, 2, ..., п- 1. (6.1.22а)
Разностный аналог граничного условия (6.1.16а) получим, введя виртуальную
точку г-\. В случае г = 0, однако, в уравнении (6.1.21) имеется
неопределенное выражение (а/г)у' типа 0/0. При г -> 0 находим
у" + (а/г)у'^(а+1)у".
Далее, используя разностную замену для уравнения (6.1.21) при г = 0,с
учетом требования y-i - yi (которое вытекает из условия (6.1.16а))
получаем окончательно
(2у, - 2у0) - Ф2у0 exp = °- (6-1 -22Ь)
Наконец, граничное условие (6.1.16с) при Sh-"-oo аппроксимируется с
помощью соотношения
Уп- 1=0. (6.1.22с)
Читатель может легко построить матрицу Якоби G = [g;/], i, / = 0, 1, ...,
п, для решения системы методом Ньютона. Эта матрица будет
трехдиагональной, а ее элементы (производные левой части соотношения
(6.1.22а)) имеют вид
^____________ 1 А • 1 О 1
§i, i - l h2 2ih2 1 ^ * " * ' ^ '
§it ?+1 ^2 I 2ifi2 * ^ ' ' * ' ^
Я - 2 1Рг Г1 I lc.-.o v|i<1->'>
1 ** Lс+эо-"())2J p •
/=1, 2, ..., n - 1.
6.1. Стационарные решения
279
Соответствующие выражения для §
goo, gou gnn нетрудно получить |
дифференцированием уравнений g
(6.1.22b, с). Ход итерационного "
процесса в случае применения §
метода Ньютона представлен в о
табл. 6.1. Точное значение у(0) g
в этой задаче равно 0,5521, так g
что погрешность аппроксимации ?
при h = 0,1 сказывается лишь 1
в четвертом знаке. Заметим, Л
что приведенный выше при- g
мер оказывается настолько про- °
стым, что его вполне можно ана- §
лизировать с помощью неболь- (r)
шой персональной ЭВМ. §
В качестве более сложного g
примера рассмотрим решение за- к
дачи 17. Соответствующие раз- "э
ностные аналоги уравнений (Р17-16) - (Р17-20) имеют вид §(r)'
1 II
но - 0,
F0 = 0, (6.1.23а) "8
G0= 1, at
^t-i ~ + Fi+\ ~ "Л
О W
-A2Re(F2-G2 + ?) = 0, cl Gl^-2Gt + Qt+l-2^FiGi- Iе0; -4'^VR^(Gi+1-G<_,)^
