Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 435

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 429 430 431 432 433 434 < 435 > 436 437 438 439 440 441 .. 742 >> Следующая

некоторых типов задач даже весьма грубая аппроксимация дает удивительно
хорошие (качественно правильные) результаты [6.4].
В данной главе читатель познакомится с методами вычисления стационарных
решений, нахождения зависимости этих стационарных решений от параметра и
отыскания вещественных и комплексных бифуркаций. Будут также рассмотрены
методы динамического моделирования (численного решения) параболических
уравнений, методы нахождения периодических решений и, наконец, построение
соответствующих эволюционных диаграмм.
6.1. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ (МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ)
Для иллюстрации методов нахождения стационарных решений параболических
дифференциальных уравнений с частными производными рассмотрим системы
типа "реакция-диффузия" (см. задачи 11-13). Левые части уравнений (4.3.7)
при этом мы полагаем равными нулю. Таким образом, стационарное решение
удовлетворяет уравнениям (' = d/dz)
x" + ?f(x, у) = 0, (6.1.1)
y" + ^~g{x, у) = 0. (6.1.2)
иу
Запишем граничные условия (4.3.8), (4.3.12), (4.3.13) (для граничных
условий первого рода мы рассмотрим только симметричный случай (4.3.9)):
ГУ1: х(0) = х, г/(0) = г/, (6.1.3а)
х(1) = х, y(i) = g. (6.1.3Ь)
ГУ2: *'(0) = 0, у' (0) = 0, (6.1.4а)
х'(1) = 0, г/ (1) = 0. (6.1.4Ь)
ГУЗ: ах0х' (0) + рх0х (0) = Ухо, ауоУ' (°) + РуоУ (0) = Yyo. (6.1 -5а)
Oxi*'(l) + Pxi*(l) = ,Yxi. ayir/'(l) + Pylr/(l) = Yyl. (6.1.5Ь)
18 М. Холодниок и др.
274
Глава 6
Если для граничных условий первого рода f(x,y) = g(x,y) = О, то имеется
однородное по пространству решение системы (6.1.1-2): х(z) = x, y(z) = y.
Это решение, очевидно, удовлетворяет и граничным условиям второго рода.
Численными решениями нелинейных краевых задач занимался целый ряд
авторов, среди публикаций которых можно найти самые разные работы - от
чисто теоретических статей до сугубо прикладных исследований. Здесь мы
рассмотрим указанную проблему сравнительно кратко; читателей же, которые
заинтересуются этой проблемой более глубоко, мы отсылаем к
монографической литературе [6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10].
Решение нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений может быть найдено с помощью целого ряда различных методов. К
чаще всего используемым (и наиболее универсальным) относятся разностные
методы и метод стрельбы. Эти две группы методов мы и рассмотрим ниже.
6.1.1. Разностные методы
На промежутке ze[0,1] выберем сетку узловых точек 2о = 0, 2[, ..., zn =
1. Сетка, как правило, выбирается эквидистантной, zi = ih, t = 0, 1, ...,
ti, где h = l/ti есть шаг сетки. На этой сетке узлов величины x,-, yt мы
рассматриваем как аппроксимации значений решения x(Zi), y{z{), г = 0,1,
..., п. Далее, производные в уравнениях (6.1.1) и (6.1.2) заменяются
соответствующими разностными формулами, например, трехточечными
центральными разностями:
xt ~ х (2<)------------F--------.
о , (6.1.6)
и" ~ и" Ь 1 ~ ^*-1 ^г+1
У%~У [zi)--------------F
Подстановка этих выражений в уравнения (6.1.1) и (6.1.2) приводит к
следующей системе нелинейных уравнений:
/2/"2
Х/_1 - + хг+1 -]--jj-f(xi, yi) = 0, г = 1, 2, ..., п 1,
(6.1.7)
7/i-1 - 2yt + yi+i -j-2j- g(xi> Уд = 6. г = 1, 2, ..., я 1.
(6.1.8)
6.1. Стационарные решения
275
Добавляя к ним аппроксимации граничных условий, мы получаем систему 2п +
2 уравнений. Так, для случая ГУ1 имеем
х0 = х, Уо = у, (6.1.9а)
хп = х, уп = у. (6.1.9Ь)
Для ГУ2 (или ГУЗ) мы должны, кроме того, заменить производные в крайних
точках. Если для аппроксимации первой производной в ГУ2 использовать
двухточечную замену типа
X, - х0 _ п хо-Л--°>
то порядок аппроксимации в формулах (6.1.7), (6.1.8) понизится с 0(h2) до
0(h). Одна из возможностей сохранить порядок аппроксимации равным 0(h2) -
использовать несимметричную разностную замену первой производной,
включающую три узловые точки:
/ -Зхд ~f~ 4xi - Х2
Y ------------
2ft
Другая возможность состоит в использовании аппроксимации, основанной на
виртуальных точках с индексами i = -1 и i = = п+1. Именно, распространим
соотношения (6.1.7) и (6.1.8) на случай индексов г = 0 и i = ti и заменим
граничные условия
(6.1.4) трехточечными центральными разностями:
з>~' "°- Л~''м~'=0' (6.1.10а)
2* y'n~'"'n'~'=0- <6U0b>
Подставляя значения х-\, z/_ 1, хп+\ и уп+1 из этих соотношений в формулы
(6.1.7) и (6.1.8), находим
2*! -2x0 + ^?-f(x0, Уо) = 0, (6.1.11а)
2l/i - 2y0 + AA-g(x0, у0) = 0, (6.1.1 lb)

D L2h2
п^-2хп + ±щГ!(Хп, Уп) = 0, (6.1.12а)
2yn_i - 2yn + ^~g(xn, уп) - 0. (6.1.12Ь)
Так же, как и в случае ГУ1, мы получили систему 2/г + 2 нелинейных
уравнений (6.1.7), (6.1.8), (6.1.11), (6.1.12) относительно 2" + 2
неизвестных. Упорядочим эти неизвестные
18*
276
Глава 6
следующим образом:
X = (Xq, Уо, Х\, У\, Х2, . . Xn_i, Уп-1, хп, уп). (6.1.13)
Перепишем теперь соответствующие уравнения для случая ГУ2 в виде
последовательности:
1. (6.1.11а),
2. (6.1.1 lb),
3. (6.1.7) при i = 1,
4. (6.1.8) при i = 1,
5. (6.1.7) при г = 2, ( • • )
Предыдущая << 1 .. 429 430 431 432 433 434 < 435 > 436 437 438 439 440 441 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed