Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь мы использовали обозначения Da = 'гитахА1, ao = ^4Aicso
И й\ - Cso/Cl-
Постройте диаграмму стационарных решений как функцию параметра Da при
следующих значениях параметров: csо = 5 и
а) Ь) с) d) е) f)
Ks 0,1 0,05 0,02 ОД 0,1 0,05
Кх 5 5 5 2 1 1
5.12.4. Модель реактора проточного типа с перемешиванием, в котором
происходят две последовательные ферментативные реакции
со скоростями, учитывающими ингибирование субстратом, можно представить в
виде (системы) трех дифференциальных
266
Глава 5
уравнении
dcx F
dt'
f(cao - ca) + ^a>
rfcB F
где
W = T (cbo ~ св) + Яв> (5.12.4a)
dcz F
dt' = ~V~ (czo cz) "f" *z.
D _ A c ____________________A___________
1 El ^ , | "2 Ifc •
% si +CA + CA Kil
С
•^в ^2CE2 , , 2 I к ^A' (5.12.4b)
AS2 + CB + В/ i2
/?z = *A - Rb ¦
Вводя переменные
°A u 0 В CZ j *^icEl
Д - , у - . 2 - . t - " .
CA0 CA0 CA0 CA0
x- S' hr ь n V (5.12.4c)
Ас/ - Л// _ "tCpiK
^_______^S/ r? ,_1 9 1 El_1 El
1 r 9 */ с 9 3 ' ' k r 9 Fc 9
CK0 CA0 2 E2 rcA0
перепишем исходную систему в безразмерной форме
(/q 1 /< \ j
^Г = Т(1 -fl) + ret
lf = T(&o-6) + ^- (5.12.4d)
dZ 1 . . .
-^Г = Т(2о-2) + гг1
где
r" -
*si + a + aV^n
1 Й
(5.12.4e)
К *S2 + 6 + 62//Ci2
rz= ra rb' bo~CBo/CAO' Z0~CZo/CAO'
Рассчитайте диаграмму стационарных решений в зависимости от параметра т
для следующих значений остальных параметров: Ksi = Ks2 = 0,1; b0 = Zo = 0
и
a) Кп = 0,1, * = 3, Kiz = 0,01; 0,1; оо;
b) *п =*i2 = 0,1, * = 0,366; 1; 3;
c) Яп=0,1. *12 = 0,01, * = 0,3.
5.12. Задачи
267
Используйте алгоритм продолжения, описанный в п. 5.2.3, либо метод
отображения параметра (п. 5.2.1) по следующей схеме: выберите а, из
первого уравнения (5.12.4d) подсчитайте т (положив а = 0), затем из
второго уравнения (при 6 - 0) найдите значение параметра Ъ,
последовательно подставляя ряд значений b и используя метод Ньютона.
Покажите, что существует несколько решений для некоторых интервалов
значений параметра т (например, для т = 3 в случае с)). Определите
характер устойчивости отдельных ветвей решения. Продумайте способ, как
находить точки поворота. Попытайтесь построить соответствующую
бифуркационную диаграмму в плоскости параметров (К-т).
5.12.5. Модель проточного реактора с перемешиванием, в котором
происходят последовательные экзотермические реакции типа А->В->С, можно
описать с помощью системы трех дифференциальных уравнений (см. п. 4.2.1):
f-=l-r-DarexPTTW, (5Л2-5а)
J^ = _U7 + Dayexp-n^-DaSlFexpT^, (5.12.5b)
i(r) = _0 _ р (0 _ 0с) + Da BY ехр +
+ Da?aWexp X+Ql • (5.12.5с)
Здесь (c) - безразмерная температура, У и W - безразмерные концентрации
компонентов А и В. При этом предполагается, что рассматриваемые реакции
имеют первый порядок.
Для построения диаграммы стационарных решений по параметру Da (остальные
параметры фиксированы) можно воспользоваться следующим методом
отображения параметра (при этом мы рассматриваем уравнения, у которых
вместо левых частей стоят нули):
1. Из уравнения (5.12.5а) представим У как функцию от (c).
2. Умножим уравнение (5.12.5Ь) на Ва и сложим с уравнением (5.12.5с). Из
полученного соотношения определим W как функцию от 0, используя при этом
уже найденную зависимость у (в).
3. Обе эти зависимости подставим в уравнение (5.12.5с) и получим
уравнение следующего типа:
а (0) Da2 + 6 (0) Da + с (0) = 0. (5.12.6)
4. Для каждого заданного значения (c) из квадратного уравнения (5.12.6)
найдем Da.
268
Глава 5
Постройте указанным способом соответствующую диаграмму решений при у-"-
оо, В = 10, а = b = k = 1, (c)с - 0, 5 = 0,013. Покажите, что при Da = 0,06
существует пять стационарных решений задачи (5.12.5). Укажите на
диаграмме характер устойчивости стационарных решений. Используйте также
для построения диаграммы метод продолжения типа предиктор-корректор и
сравните полученные результаты. Найдите пять стационарных состояний
исходной задачи при у->оо; ос = р = = k=\, S = 0,01; 0с = 0; В = 10,05;
Da = 0,0705 и выясните характер их устойчивости (значения 0 для отдельных
решений должны выбираться следующим образом: 0,55; 3,05; 5,15; 6,55;
9,6). Покажите, что три из этих решений являются устойчивыми, и с помощью
динамического моделирования (численного-интегрирования) уравнений
(5.12.5) проверьте, что решение на них стабилизируется.
Далее, путем динамического моделирования уравнений (5.12.5) покажите, что
для значений параметров у-"-оо; В = 14; Р = 3; (c)с = 0; k=\\ а = 5 = 0,03
и значений Da, выбираемых из интервала (0,165; 0,33), в данной задаче
существует некоторый предельный цикл. Более подробные результаты, которые
можно использовать для сравнения, приведены в работе: Н1а-vacek V.,
Kubicek М., Visnak К.: Chem. Engng. Sci. 27(1972), 719-742.
5.12.6. Постройте бифуркационную диаграмму в плоскости параметров р и Da
для задачи 1. Выберите следующие значения остальных параметров: у = 20, Л
= 1, @с = 0, В = 6; 8; 10; 12. Для построения бифуркационной диаграммы
воспользуйтесь методом отображения параметра; после преобразования
