Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
fe-периодическое решение):
x^kT) = фг (тр, ...,Т1", а), / = 1, 2, ...,". (5.11.6)
Для выполнения граничных условий (5.11.3) потребуем, чтобы
Ft Oil, • • •, Ля, а) = Фг Oil, • • ¦, ti", а) - тр = 0, i = 1, 2, ...,".
(5.11.7)
17 М. Холодниок и др.
258
Глава 5
Полученная система представляет собой систему п нелинейных уравнений с
параметром а, и для ее решения мы можем использовать методику, описанную
в § 5.1, а для продолжения решения по параметру - алгоритм DERPAR,
описанный в § 5.2. В отличие от автономного случая, где период не был
известен и поэтому одну составляющую r\k мы считали фиксированной, здесь
период kT задается заранее, а все составляющие вектора т) неизвестны.
Производные функций Ft мы опять находим с помощью проварьированных
переменных pi,- - dxi/dr\j, qt = = dxt/dа и уравнений в вариациях
Устойчивость найденного периодического решения определяется его
мультипликаторами - собственными числами матрицы монодромии
В = [дфг/дЛ/] = [рц {kT)\. (5.11.Ю)
Таким образом, изменение характера устойчивости периодического решения
вновь оказывается возможным лишь при переходе мультипликатора через
единичную окружность. Переход через 4-1, так же как и в автономном
случае, указывает на наличие точки поворота или точки бифуркации на
зависимости решения от параметра. Переход через - 1 дает нам ответвление
ветви периодических решений с двукратным периодом, т. е. периодом 2кТ.
Отображение Пуанкаре Р, определенное соотношением
(5.11.4), при численном интегрировании системы (5.11.1) реализуется с
помощью отображения "р, задаваемого формулой (5.11.6) при k = l. Выбрав
точку т| = т|°, мы (приближенно) получим траекторию отображения Пуанкаре
ц0, ц1, ..., ч\1, ...:
Изобразив на плоскости две выбранные координаты точек т)г {1 = 0, 1, 2,
...) траектории отображения Р, получим проекцию этой траектории на
заданную плоскость. Так же, как в автономном случае, процесс может
стабилизироваться, и мы будем последовательно (многократно) находить
совокупность k точек; этой совокупностью будет характеризоваться ^-
периодическое решение системы (5.11.1). Если же эти точки образуют в пло-
л*+1 =<р(У, а).
(5.11.11)
5.11. Расчет и анализ периодических решений
259
скости замкнутую кривую, то скорее всего речь идет о квази-периодическом
решении. Третья возможность состоит в том, что решение стабилизируется на
хаотическом аттракторе; в этом случае траектория отображения Пуанкаре
имеет более сложную структуру. Проиллюстрируем сказанное на примере
задачи о реакторе с перемешиванием, в котором происходит реакция типа
"брюсселятор" (ср. задачи 7, 9), находящаяся под влиянием некоторого
внешнего воздействия. Предположим, что из-
0 2 4 6X0 2 4 6 X
Рис. 5.40. Траектории периодических решений системы (5.11.12); А = 2, В=
6, со = 3, а) а = 0, Ь) а = 1,7084.
менение концентраций при этом описывается дифференциальными уравнениями
вида
?L = А-(В+ l)X + X2y + asin<a/,
dY , <5Л1Л2)
-JT- = ВХ - X2Y,
dt
где а - амплитуда и <а - частота внешнего воздействия. Выберем значения
параметров (концентраций подаваемых компонентов) , полагая А = 2 и В = 6.
Читатель может легко убедиться, что система (5.11.12) при а = 0 (при
отсутствии внешнего возбуждения) имеет неустойчивое стационарное решение
Х = А, Y = B/A, около которого существует устойчивое периодическое
решение с периодом Т = 5,0953 (собственная частота а>о = 2л/7'= 1,23313).
Траектория этого решения изображена на рис. 5.40а. На рис. 5.40Ь
представлено 1-периодическое решение для случая, когда имеет место
синхронизация с внешним воздействием.
17*
260
Глава 5
На рис. 5.41а - d приведены траектории отображений Пуанкаре
установившихся периодических решений, а также квазипериод ического
решения. В случае ^-периодического решения здесь отмечено k точек
траектории отображения Пуанкаре. На рис. 5.41е, f представлены примеры
траекторий отображения Пуанкаре, которые определяют хаотический
аттрактор. При сильном увеличении отдельного участка рис. 5.41е (или ,f)
можно было бы увидеть сложную структуру хаотического аттрактора.
На рис. 5.42 изображены зависимости 1- и 2-периодических решений от
параметра а (амплитуды внешнего возбуждения). При этом на графике
зависимости Х(0) от параметра а каждое 2-периодическое решение изображено
дважды. В точках
5.11. Расчет и анализ периодических решений
261
Рис. 5.41. Орбиты отображения Пуанкаре системы (5.11.12); А - 2, В - 6.
а) а = 0,7, (о = 3: 7- периодическое решение, Ь) а = 0,8, а = 3: 8-
периоди-ческое решение, с) а = 0,9, а = 3: 9-периодическое решение, d) а
= 0,5, а = 6: квазипериодическое решение, е) а = 0,6, ш = 3: хаотический
аттрактор, f) а = 1, а = 3: хаотический аттрактор.
Рис. 5.42. Диаграмма 1- и 2-периодических решений системы (5.11.12); Л=2,
В = 6, а = 3; сплошные линии - устойчивые решения, штриховые -
неустойчивые решения, • - точка бифуркации удвоения периода.
262
Глава 5
бифуркации "-1" от 2-периодического решения ответвляется 4-периодическое
