Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь на примерах некоторые наиболее характерные типы
эволюции системы при медленном изменении параметра, т. е. соответствующие
эволюционные диаграммы. На рис. 5.36 представлены шесть случаев, когда
при переходе через точку поворота или точку бифуркации Андронова-Хопфа
происходит резкое изменение (скачок) решения. На рисунках изображены
перескоки при увеличении или уменьшении значений параметра со временем.
На рис. 5.36а и 5.36Ь приведены наиболее типичные случаи так называемого
явления гистерезиса. Случай двух петель гистерезиса представлен на рис.
5.36с. Общим для всех трех случаев является то, что с помощью
соответствующих изменений параметра здесь можно получить все устойчивые
стационарные решения. Иначе обстоит дело в случае, изображенном на рис.
5.36d: здесь нельзя с помощью изменения параметра т во времени достигнуть
верхнего устойчивого стационарного состояния, отправляясь от нижнего (при
изменении т решение остается на нижней устойчивой ветви). Верхнего же
состояния можно достигнуть путем изменения начальных условий или какого-
либо другого параметра задачи. Аналогичная ситуация имеет место на рис.
5.36 е, f. Читатель может
252
Глава 5
Рис. 5.36. Скачки в точках поворота и точках бифуркации Андронова - Хопфа
на диаграммах решений при изменении параметра; сплошные линии -
устойчивые стационарные решения, штриховые - неустойчивые стационарные
решения. а) Задача 6, V = 12, сх0 = 0.005, cs0 = 5, ji = 0,5, ATS = 0,03,
AC| = 5, Sxs = 0,5. b) Задача 5, см. параметры в табл. 4.1. с) Задача 1,
у =
= 20, В =10, Л = 1, 0С= - 5, k0 = 1,я = 1. d) Задача 1, у = 20, В = 10, Л
= 1, 0С = -5, ко = 1, а = 2,5. е) Задача 2, у = 20, В = 10, 0С1 = 0С2 = -
5, а = 1, ко = 0,5. f) Задача 2, у = 20, В = 10, 0ci = 0С2 = -5, а - 1,
ka = 0,6.
5.10. Квазистационарное поведение динамических моделей
253
легко установить, какие именно устойчивые состояния могут быть достигнуты
путем медленного изменения параметра т На рис. 5.37 изображена
эволюционная диаграмма для задачи 2, где существуют устойчивые
периодические решения. На нем видно влияние выбора величины aj в формуле
(5.10.4) (скорости изменения параметра а во времени) при а0 = = Daio = 0.
В случае, представленном на рис. 5.37а, эта скорость была выбрана слишком
большой, так что процесс не смог достаточно стабилизироваться.
? = 500
Рис. 5.37. Эволюционная диаграмма задачи 2. у = 1000, В = 12, Pi = р2 = =
2, 0С1 = 0с2 = 0, Л = 1, Da2 = 0,2, Л4 = амплитуда переменной 02; a) Dai
= 0,0007/, Dai = 0,000035/.
Поучительно сравнить эволюционную диаграмму рис. 5.37Ь с бифуркационной
диаграммой по параметрам Daj и Da2 на рис. 5.20с, где видны точки
бифуркации Андронова-Хопфа. На рис. 5.37Ь показано резкое нарастание
амплитуды колебаний вблизи Dai1- " 0,1574. Обращаясь к рис. 5.28, мы
видим, что этому значению Da* отвечает бифуркация Андронова-Хопфа с
жесткой потерей устойчивости стационарного режима (ветвь периодических
решений отходит в сторону Dat < Dai1-).
Интересное поведение решения можно наблюдать в случае системы двух
связанных между собой реакторов (задача 8). Выберем значения параметров
из диаграммы стационарных решений на рис. 5.6, а именно, положим А = 2, В
= 6, D1/D2 = 0,1. Исследуем поведение системы при изменении параметра D\,
*> Сведений только о стационарных состояниях для этого, конечно,
недостаточно. - Прим. ред.
254
Глава 5
выбрав начальные условия в виде
* = 0: *, = 2,1, У] = 2,9, Х2=1,9, У2 = 3. (5.10.7)
При этом параметр D\ будем изменять во времени по формуле
(5.10.8)
Эволюционные диаграммы приведены на рис. 5.38. В случае возрастающих D\
(рис. 5.38а) при D\ ~ 0,01 мы имеем однородное периодическое решение (*i
= Z2, У\ = Уъ), получаю-
Рис. 5.38. Эволюционная диаграмма задачи 8. N = 2, А = 2, В = 6, р = =
Z),/Z)2 = 0,1. а) ?>, = 0,006-2'/5°, 6) D, = 1,5-2~'/5°. ТБХ -точка
бифуркации Андронова - Хопфа, НСР - неоднородное стационарное решение,
ОСР - однородное стационарное решение, <g) - однородное периодическое
решение, О - неоднородное периодическое решение, S - старт при t = 0.
щееся вследствие симметрии системы. При дальнейшем увеличении D1
происходит перескок на неоднородное стационарное решение, затем в точке
комплексной бифуркации появляется неоднородное устойчивое периодическое
решение. Это решение через каскад бифуркаций, удваивающих период,
порождает хаотическое решение, которое в конце концов утрачивает
устойчивость *>, и мы вновь получаем однородное периодическое решение.
При уменьшении D\ (см. рис. 5.38Ь) однородное периодическое решение
переходит прямо на неоднородное стационарное
*> Последние события на рисунке не отражены. - Прим. ред.
5.10. Квазистационарное поведение динамических моделей
255
решение, затем в точке комплексной бифуркации на неоднородное
периодическое решение и, наконец, вновь на однородное периодическое
решение.
На рис. 5.39 изображена эволюционная диаграмма для задачи 10. В случае а)
