Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
получать различные продолжения решений на эволюционной диаграмме.
5.10.1. Типичные эволюционные диаграммы
Наиболее часто встречающимся типом квазистационарного. поведения является
перемещение решения вдоль выбранной устойчивой ветви решений
(стационарных, периодических, ква-зипериодических, хаотических) 2) на
диаграмме решений. В указанных случаях поведение системы предсказуемо - в
нем не наблюдаются качественные изменения, скачки, быстрые переходы и т.
п. Такого рода переходы (скачки) могут появляться только в точках
бифуркации. Возможные способы перехода через эти точки изображены на рис.
5.35. Более сложные бифуркации периодических решений (например, удвоение
периода,, возникновение хаотических режимов) на рисунке не показаны..
Обсудим теперь отдельные типичные случаи, изображенные на рис. 5.35.
Случай а) соответствует точке ветвления на диаграмме стационарных
решений. Решение x(t) системы x = f(x, а(^) мала отличается от функции
х(а(()), где х(а) - стационарное решение системы x==f(x, а) (при
постоянном а). После критического значения параметра а** решение
продолжается вдоль устойчивой ветви стационарных решений х(а).
Зависимость х(а) в точке а** претерпевает излом. Однако при построении,
эволюционной диаграммы с помощью динамического моделирования (численного
решения системы x = f(x, а(())) можно не-заметить, что произошел переход
(перескок) на другую ветвь стационарных решений. В случае Ь) (бифуркация
типа вилки) решение продолжается по одной из последующих устойчивых,
ветвей, выбранных случайным образом в зависимости от погрешностей
аппроксимации и округления. В реальных физических или биологических
проблемах удобно рассматривать соответствующую задачу как стохастическую;
характер распределения флуктуаций переменных состояния определяет тогд,а
вероятности выбора отдельных ветвей решения.
*> Смысл этой фразы непонятен. Стационарными и периодическими решениями
обладает система (5.10.1) при фиксированных а; от с и ац оии-(эти
решения) никак не зависят. - Прим. ред.
2) Здесь и ниже имеются в виду стационарные, периодические и т. д..
решения (5.10.1) при постоянном а. - Прим. ред.
250
Глава 5
Случай с) представляет особый интерес, поскольку мы не можем предсказать
поведение системы без дополнительных сведений. После перехода а через
критическое значение а* состояние системы сравнительно быстро изменяется,
притягиваясь к "наиболее близкому" устойчивому состоянию. Этот
притягивающий режим может описываться устойчивым стационарным,
периодическим или хаотическим решением системы x = f(x, а).
Рис. 5.35. Схематическое изображение перехода через критические точки при
квазистационарном поведении.
Иначе говоря, по окончании переходного периода решение х(/) может быть
близко к некой ветви стационарных решений системы x = f(x, а), но может
также совершать колебания, близкие к периодическим (или имеющие
стохастический характер).
Случай d) соответствует бифуркации Андронова-Хопфа на устойчивой ветви
стационарных решений. Случай е) аналогичен случаю с). При переходе а
через критическое значение а* для ветви периодических решений (случай f))
поведение системы также аналогично случаю с): она "эволюционирует" по
направлению к "ближайшему" аттрактору системы x = f(x, а).
Рассмотренные случаи представляют собой наиболее типичные участки
эволюционной диаграммы. Ситуация может оказаться более сложной при
появлении квазипериодических и хаотических решений.
При переходе с одной ветви решения на другую мы можем спрогнозировать
следующую ветвь в представленных на рис. 5.35 случаях а) и d). Такие
случаи мы будем называть детерминист-
5.10. Квазистационарное поведение динамических моделей
251
скими. Остальные случаи, в которых последующая ветвь выбирается с
локальной точки зрения случайно (случаи Ь), с), е), f) на рис. 5.35), мы
будем называть стохастическими переходами. Отметим, что стохастический
переход может давать в той или иной степени детерминированное
продолжение. Это, например* имеет место в случае с) на рис. 5.35, если
при а > а* существует единственный аттрактор системы x = f(x, а).
Переходы в стохастическом случае могут быть очень быстрыми, однако могут
происходить и в течение достаточно долгого времени. При этом переменные
состояния не обязаны меняться монотонно.
Если одновременно существует несколько устойчивых решений задачи, то в
инженерной практике мы часто сталкиваемся с проблемой реализации
выбранного стационарного решения путем соответствующего медленного
изменения параметра (для которого такое изменение удается осуществить).
Принимая во' внимание то, что начальные условия для переменных состояния
часто с трудом поддаются регулированию, этот вопрос оказывается
чрезвычайно важным. Типичным примером здесь служит проблема перевода
химического реактора в режим с высокой степенью конверсии с помощью
изменения того или инога параметра, например, времени задержки.
5.10.2. Примеры эволюционных диаграмм
