Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
dF,/dT = Azr f(x(zi+1)\i]h Т, а). (5.8.45)
Частные производные dF,/da находятся интегрированием уравнений в
вариациях, аналогичных уравнениям (5.8.44).
В п. 5.8.3 мы говорили о структуре матрицы монодромии в случае метода
простой стрельбы. В методе многократной стрельбы матрица монодромии имеет
вид
B = Gm_iGm_2 • • • GjG,, (5.8.46)
где матрицы G/, /'= 1, 2, ..., m - 1, определяются формулой
(5.8.43). Отметим, что столь простую структуру матрицы монодромии
невозможно получить при использовании разностных методов.
Метод многократной стрельбы был нами использован для нахождения сильно
неустойчивых периодических решений в так называемой модели Ходжкина-
Хаксли передачи возмущения по нервному волокну [5.20], а также для
продолжения по параметру периодических решений задачи 8 [5.29].
238
Глава 5
Отметим в заключение, что в то время как при использовании разностного
метода нам приходилось брать порядка ста точек деления, в случае
применения метода многократной стрельбы число точек деления было
существенно меньше. Практический опыт показывает [5.20], что уже десяти
точек бывает вполне достаточно.
5.9. ХАОТИЧЕСКИЕ АТТРАКТОРЫ
Материал данного параграфа основывается на сведениях, изложенных в п.
2.5.2, где были введены понятия аттрактора н хаотического инвариантного
множества.
Хаотическое инвариантное множество, представляющее собой аттрактор,
называется хаотическим (странным) аттрактором.
Наличие хаотического аттрактора в фазовом пространстве системы
дифференциальных уравнений служит причиной сложного поведения траекторий
системы в его окрестности. При этом мы говорим о хаотическом поведении
траектории (или решения данной системы). Пример такого поведения
изображен на рис. 5.32.
О существовании сложных траекторий в автономных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений с размерностью, больше или равной трем, было
известно еще Пуанкаре. Лоренц в работе [4.40] на простом численном
примере (задача 10 при значениях параметров а =10, 6=8/3, г = 28)
продемонстрировал наличие хаотического поведения решений.
Один из механизмов возникновения хаотического множества связан с
последовательностью бифуркаций удвоения периода (или бифуркаций типа "-
1", см. § 5.8, 2.3 и 2.5). Этой последовательности бифуркаций часто
соответствует сходящаяся последовательность бифуркационных значений
парамет-
ра а. Положим limara = a00. В случае если а" / (или соот-
П->ос
ветственно ап\аоо) при a > (соответственно a < a<x>) в фазовом
пространстве системы x = f(x, а) существует хаотическое множество (см.
рис. 5.34f).
Ниже мы рассмотрим некоторые методы анализа хаотических аттракторов. Для
описания хаотического аттрактора мы будем использовать показатели
Ляпунова (см. § 2.5) или будем изучать его структуру с помощью
отображения Пуанкаре. Хаотический аттрактор характеризуется наличием хотя
бы одного положительного одномерного показателя Ляпунова или тем, что
инвариантное множество соответствующего отображе-
5.9. Хаотические аттракторы
239
ния Пуанкаре имеет характер канторова множества Более подробно вопросы
возникновения и анализа хаотического пове-
0 2 А 6 Xf 8
Рис. 5.32. Фазовый портрет задачи 8, N=2, А ?= 2, В = 5,9, Di- 1,21, Z)2
= 12,1. Часть хаотической траектории в проекции на плоскость X, - У,.
дения систем с соответствующими приложениями рассматриваются в работе
[5.18].
5.9.1. Вычисление показателей Ляпунова
Рассмотрим систему п дифференциальных уравнений
¦^r = f(x, a), (xeR'), oeR1. (5.9.1)
ч Понимание смысла последнего высказывания для дальнейшего не
обязательно. - Прим. ред.
240
Г лава 5
В п. 2.5.1 мы ввели определение показателей Ляпунова. Напомним, что для
траектории системы (5.9.1), которая в момент /-0 проходит через точку хо
(при фиксированном значении а), одномерный показатель А1 определяется как
V (х0; v°) = lim - In -j-J-. (5.9.2)
t-> 00 t I V, |_
Соответствующий 6-мерный показатель задается соотношением
%k(Х°: V' = /5,Т 1П |]v?Av"'.. Av°|] ' (5'9'3)
Здесь ||wiAw2 ... Awfe|| есть объем 6-мерного параллелепипеда,
образуемого векторами wi, ..., w*. В формулах (5.9.2) и (5.9.3) v\ есть
решение линеаризованного уравнения
-& = #<ФМ)У. (5-9.4)
для которого уДО) - (матрица д\/дх вычисляется в точках выбранной
траектории х = ф(Д системы (5.9.1)).
Замечания
1. Предел в формуле (5.9.2) существует для почти всех х0 и векторов v?.
2. При случайном выборе линейно независимых векторов v°, ..., формула
(5.9.3) с вероятностью 1 дает максимальный 6-мерный показатель А*ах (см.
теорему в п. 2.5.1)
Вычисление одномерных показателей Ляпунова обычно проводится следующим
образом. С помощью формулы (5.9.3) подсчитываем tl максимальных
показателей Amax, Атах, ..., Атах и затем находим одномерные показатели
А| ^ А' ^ ... ^ А^ с помощью соотношений
а! = Amax, Ai = Атах - Amlx , 6 = 2, (5.9.5)
поскольку каждый 6-мерный показатель представляет собой сумму 6
одномерных показателей (см. п. 2.5.1).
Если подсчитывать показатели Ляпунова с помощью выражения (5.9.3), то у
