Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
из этой таблицы выбрана в качестве начальной точки траектории. Нумерация
тех точек, где Xi(z)'=2, используется в табл. 5.26.
тем, что в окрестности выбранных значений параметров существует много
точек бифуркации (более подробные результаты можно найти в работе
[5.26]).
Таблица 5.25. Точки бифуркации удвоения периода для задачи 8 (рис.
5.27а): А = 2, В = 5,9, р = Di/D2 = 0,1, k = 1, цк = 2.
Ч- 44 г а
3,12258 3,02534 3,25999 3,13884 0,86612 0,90140 0,86603 0,85654
3,26192 3,14959 3,41344 3,28176 11,59421 12,62766 11,47081
11,83646 1,22382 1,27471 1,22556 1,20614
Можно разработать аналогичные методы для нахождения точек бифуркации "+1"
и бифуркации рождения тора. Так, в случае бифуркации "+1" (в автономной
системе дифференци-
232
Глава 5
Таблица 5.26. Четыре различных решения, соответствующие первой точке в
табл. 5.25 (см. рис. 5.30): Т = 11,59421, а = 1,22382
Номер точки на рис. 5.30 *Пг п"
1 3,12258 0,86612 3,26192
2 3,68848 0,87736 3,88267
3 3,01182 0,87130 3,13921
4 5,72536 1,69797 5,83894
Таблица 5.27. Вычисление точки бифуркации удвоения периода для задачи 8.
Пример итераций в случае метода 1: А - 2, В = 5,9, р = Z>i/Z>2 = 0,1, k =
1, r\k = 2. Начальное приближение для метода Ньютона выбиралось случайным
образом.
Итерация ¦Hi ¦Hi ¦п. Г а
0 2 3,5229 1,6059 5,5378 11,7588 1,23635
1 2 5,8629 1,6993 5,9794 12,1162 1,24259
2 2 5,9621 1,7065 6,0825 11,9041 1,22265
3 2 5,6563 1,7239 5,7474 11,8191 1,22611
4 2 5,7228 1,7116 5,8312 11,6530 1,22207
7 2 5,7254 1,6980 5,8389 11,5942 1,22382
8 2 5,7254 1,6980 5,8389 11,5942 1,22382
альных уравнений) характеристическое уравнение (5.8.28) имеет двукратный
корень +1, т. е. должно выполняться соотношение
def jp
^¦"+1 (Til TU-1, Ча+1, .. ti", г, о) = -^(1) = 0 (5.8.32)
(условие Р(1) = 0 выполняется автоматически). Уравнения (5.8.19) и
(5.8.32) вновь представляют собой систему n+ 1 нелинейных
(алгебраических) уравнений относительно я + 1 неизвестных гц, ..., т)?_ь
rjfe+i, ..., г\п,Т, а (переменную ц* мы опять считаем фиксированной).
Далее действуем точно так же, как в методе 1 для точек бифуркации типа "-
1".
В случае бифуркации типа тора указанный подход несколько усложняется. Эта
бифуркация (см. гл. 2) характеризуется наличием пары комплексно
сопряженных собственных чисел Яг, з матрицы монодромии, которые переходят
через единичную окружность и для которых в точке бифуркации выполняются
соотношения
1Чз1=1. Я"3#1, от=1,2,3, 4. (5.8.33)
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае
233
Будем искать периодические решения, у которых два мультипликатора имеют
вид
А2> з = а ± ib, а2 + b2 = 1, Ьф 0.
Оба последующих метода основаны на использовании подходящего разложения
характеристического многочлена.
Метод 3 (бифуркация типа тора)
Выделив из Р (А) множитель А2- соА + 1, напишем
Р (А) = (а2 - соА -1) (А 2 -(- Ь{К 3 -(- ... -(- Ьп_2) СА -(- D.
(5.8.34)
Здесь со = 2а и А2 - (оА+1=(А - А2) (А - А3). Коэффициенты Ьи ..., Ьп-2,
С, D находятся с помощью рекуррентных формул (&о=1, 6-1=0):
bm = am + (abm_i - bm_2, m= 1, 2, ..., п - 2, (5.8.35)
С = а"_1+ш6"_2 - Ьп_ з, D = an - bn_ 2. (5.8.36)
При этом в точке бифуркации типа тора имеют место соотношения
def
f*n+i Oil. • • •. Л&-1" Л/fe+i. • • • > Лп. F, Щ ^ 0, (5.8.37а)
def
Fn+2 (Л1.....Лй-1. Л*+1. ¦ ¦ •> Ля, т, a, <o) = Z) = 0. (5.8.37b)
Уравнения (5.8.19) и (5.8.37) представляют собой систему n-j-2 нелинейных
(алгебраических) уравнений относительно ц + 2 неизвестных т]ь ..., л*-1.
Л*+1> ¦ • • > Лл. Т, сс, со (неизвестная г)* снова считается
фиксированной).
Метод 4 (бифуркация типа тора)
При разложении характеристического многочлена Р( А) можно использовать то
обстоятельство, что (в автономном случае) всегда есть корень Ai = 1.
Разложение при этом принимает вид
Р (А) = (А3 - (2а + 1) А2 + (2а + 1)А - 1)Х X (А"-3 + ЬХ~* + ¦ • • + 6"-
з) + СА2 + DX + E. (5.8.38)
234
Глава 5
Коэффициенты bь Ьп~з, С, D, Е вновь подсчитываются по рекуррентным
формулам (&о=1, fe-i = 0, 6_2 = 0; со = 2а)
Ьт = ат + (со + 1) {Ьт-1 - йт-2) + &т-з. т = 1, 2, ..., п - 3,
С @п-2 + Ьп-5 "f" + 0 (Ьп~3 -4)" g 39)
П = +-I + &га-4 - (<0 + 1) 6"_3,
? = <*" + Ьп_ з.
Если коэффициенты С и О в соотношениях (5.8.37) вычислить по формулам
(5.8.39), то уравнения (5.8.19) и (5.8.37) будут представлять собой
систему п + 2 нелинейных уравнений относительно п + 2 неизвестных, как и
в методе 3 (в найденной точке бифуркации типа тора условие Е - 0
выполняется автоматически). Вместо соотношений (5.8.37) мы могли бы взять
условия С = Е = 0 или D = Е = 0 (поскольку Р (1) = 0, то С + + ?) + ? =
0, см. (5.8.38)). Для решения получаемых систем нелинейных уравнений
можно вновь воспользоваться методом Ньютона. Можно поступить и так: с
помощью метода Гаусса - Ньютона решить систему n + З уравнений (5.8.19),
(5.8.37) и Е - 0 относительно п + 2 неизвестных.
В табл. 5.28 приведены точки бифуркации типа тора для задачи 8, найденные
описанными выше методами. Отметим, что метод Ньютона является очень
