Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
случае точки поворота (отвечающей бифуркации "+1" (слияние двух
периодических решений).-Ред.) алгоритм, пройдя эту точку, переходит на
другую ветвь. Окончание ветви решений в точке бифуркации Андронова-Хопфа
и в точке, где периодическое решение превращается в гомоклиническую
траекторию, также контролируется этим алгоритмом (см. рис. 5.25).
Проиллюстрируем использование алгоритма DERPER на нескольких примерах.
220
Глава 5
Модель Лоренца (задача 10, см. (5.5.1)) обладает симметрией в следующем
смысле. Введем отображение g: R3 -*• R3
Рис. 5.25. Схема применения алгоритма DERPER.
(симметрию относительно оси z) посредством соотношения g(x,y,z) = (-x,-
y,z). Если Р (t) = (x{t) у У (0, z {t)) некото-
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 221
рое решение уравнений (5.5.1) с траекторией у, то Р(0 = = (-x(t),-
y(t),z(t))- также решение (с траекторией g(y)). В частности, -если P{t)-
периодическое решение, то Р (/), очевидно, тоже. При этом могут иметь
место два случая:
1- g(Y) = Y" т- е- решения Р и Р имеют одну и ту же траекторию, которая
симметрична относительно оси z; при этом р (/) = р (/ Т/2). Такие
решения мы будем обозначать символом S; примером служит решение,
представленное на рис. 5.26Ь.
2- g(Y)^=? и> следовательно, функции Р и Р задают два существенно
различных периодических решения, траектории которых у и g(y) взаимно
симметричны относительно оси z (такие решения мы будем обозначать
символом А). Примером может служить решение на рис. 5.26с.
Другие модели также обладают симметрией, в соответствии с которой с
данным решением сосуществуют несколько других симметричных решений.
Опишем; теперь зависимость периодических решений от параметра г для
задачи 10, показанную на рис. 5.26а.
Из точки бифуркации Андронова-Хопфа субкрнтически отделяется ветвь
неустойчивых периодических решений. С учетом упомянутой симметрии таких
точек бифуркации оказывается две1* (на рис. 5.26а им отвечает одна
точка), и из них ответвляются две ветви периодических решений, траектории
которых взаимно симметричны по отношению к оси z. При уменьшении значения
параметра г уменьшается расстояние периодических траекторий до состояния
равновесия х = у - г = 0. Эти периодические траектории сходятся к двум
гомоклиническим траекториям, которые входят и выходят из состояния
равновесия х = у = z = 0 (мы обозначим их как yi и у2). Некоторые ветви
периодических решений сходятся при изменении г к множеству,
представляющему собой объединение этих гомоклинических траекторий, т. е.
к множеству yi U уг- Амплитуда изменения переменной у на этом множестве
вдвое больше, чем на одной го-моклинической траектории. На рис. 5.26а это
отображено в виде скачка кривой.
На этом же рисунке в диапазоне параметра г е (50,250) показано несколько
точек поворота (где встречаются две ветви периодических решений). Вблизи
каждой точки поворота существует узкий интервал изменения параметра г, в
котором периодическое решение оказывается устойчивым. Отметим, что рис.
5.26 не показывает все существующие ветви периодических
о Имеются в виду точки на такой диаграмме периодических решений, которая
"различает" два взаимно симметричных решения. - Прим. ред.
222
Глава 5
решений [4.40]. Описание того, как периодическое решение теряет
устойчивость, мы дадим в следующем пункте.
HBBt I I I________I________I -I_____________I // I
0 50 100 150 200 250 300 350 500
Рис. 5.26. Периодические решения задачи 10, а = 16, 6 = 4. а) Диаграмма
периодических решений. Ау - амплитуда 2-й составляющей вектора решения,
НВВ - точка бифуркации Хопфа, НО - гомоклиническая орбита, сплошная линия
- устойчивое решение, штриховые линии - неустойчивые решения, • - точка
бифуркации с потерей симметрии. Ь) Симметричное устойчивое решение для
значения г = 137; Т = 1,48629, Ау = 154. Показана проекция на плоскость х
- у, ч = (-0,02624, -36,5315, 135,279), + стационарное решение. с)
Несимметричное устойчивое решение для значения г = 87,487; Т= 1,54563; Ау
= 101. Показана проекция на плоскость х - у, т)- = (7,7979, -26,7059,
99,7729); + стационарное решение.
Верхние ветви решений, идущие из точек поворота, оканчиваются на разных
гомоклинических траекториях, нижние же ветви на концах стремятся к паре
гомоклинических траекторий ("восьмерка"). При г > 500 существует только
одна ветвь пе-
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 223
риодических решений, которые являются устойчивыми и симметричными, при г
~ 470 эта ветвь теряет устойчивость в точке бифуркации с потерей
симметрии. В табл. 5.24 приведены устойчивые периодические решения из
всех устойчивых участков ветвей, показанных на рис. 5.26а, а также два
неустойчивых периодических решения. Напомним, что устойчивые
периодические решения можно искать также, имитируя (численно) динамику
уравнений (5.8.1) (процесс установления периодического режима).
Таблица 5.24. Некоторые периодические решения для задачи 10 1)
