Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости параметров б - а. В области, ограниченной кривыми вещественных
бифуркаций, существует три решения, вне этой области - одно решение.
Кривые комплексной бифуркации указывают нам на ответвление периодических
решений и изменение характера устойчивости стационарных решений. В
области единственности стационарных решений эти кривые выделяют область
существования устойчивых предельных циклов.
На рис. 5.20f изображена бифуркационная диаграмма для задачи 8 в
плоскости параметров В - D\. Ввиду симметрии системы некоторые кривые
являются фактически сдвоенными, поскольку бифуркация возникает
одновременно у двух взаимно симметричных решений при тех же самых
значениях параметров (сравните с диаграммой решений на рис. 5.6d). Для
каждой области на бифуркационной диаграмме указано общее число
стационарных решений.
13 М. Холодниок и др.
194
Глава 5
0,001 0,01 0,1 1 10 рЮО 1000
Рис. 5.20. Бифуркационные диаграммы для отдельных задач; сплошная линия -
кривая предельных точек, штриховая линия - кривая точек комплексной
бифуркации (бифуркации Андронова - Хопфа). Числа в отдельных областях
указывают число стационарных решений, а) задача 10, b = 4. Ь) Задача 3, р
= 8,4-10~6, g =2, е = 6,6667-10-4, е' = 1,7778-10~5. Точки Р и Q - см.
рис. 5.10 и 5.12. с) Задача 2, у = 1000, В = 12, Pj = Р2 = 2, (c)Cl = = 0Cj
= О, Л = 1. d) Задача 6, es0 = 5, сх0 = 0,005, Sxs = 0,5, Ks - 0,03, ji=
= 0,5. е) Задача 4, у = 3, 0=1,5. vQ = 0, 01. f) Задача 8, N = 2,
уравнения (Р8-2)-(Р8-5), А=2, D2=10Du штрихпунктирная линия - кривая
точек бифуркации Андронова - Хопфа на ветви неустойчивых стационарных
решений, g) Задача у = 20, 0Cj = 0Сг = - 5, Л = 1, В = 10, = 02 = 0,2.
5.7. Методы моделирования динамических систем
195
Более сложная бифуркационная диаграмма имеет место для задачи 2 (рис.
5.20g). Здесь также в каждой области параметрической плоскости Dai - Da2
указано общее число стационарных решений.
В случае более сложных задач основная проблема заключается в том, чтобы
простроить полную бифуркационную диаграмму, т. е. найти ее кривые точек
поворота и точек комплексной бифуркации. Если мы сумеем построить такую
диаграмму, то тем самым получим полную информацию о поведении
стационарных решений системы в зависимости от двух параметров исходной
задачи.
5.7. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Решение x(t) системы обыкновенных дифференциальных уравнений
= *) (5.7.1)
с начальным условием х(0) = х° (за редкими исключениями, когда нам
удается решить уравнение (5.7.1) аналитически) обычно приходится находить
численными методами. За последние 40 лет разработан целый ряд таких
методов, позволяющих строить решения задач Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений, и в настоящее время соответствующие программы
являются частью математического обеспечения практически любой ЭВМ.
Подчеркнем, что некритическое использование этих программ может в
некоторых задачах приводить к неправильным результатам (или вовсе не
приводить к результатам). Это может случиться, в частности, при
интегрировании систем с сильно неустойчивыми траекториями или систем,
содержащих малые параметры.
В этом параграфе будет приведен лишь краткий обзор указанных методов и
рассмотрены некоторые практические аспекты их использования. Читателей,
которых данная проблематика заинтересует более глубоко, мы отсылаем к
обширной библиографии по этому вопросу (см., например, [5.7], [16*],
[18*], [19*]).
5.7.1. Одношаговые методы
Общая особенность численных методов решения задачи Коши (или методов
численного интегрирования) состоит в том, что решение ищется в виде
некоторой дискретно определенной
13*
196
Глава 5
функции, заданной на сетке, состоящей из узлов t0 = 0, h, t2, ... с шагом
hj = tj+1 - tj > 0. Методы интегрирования можно разделить на две группы:
одношаговые и многошаговые.
В одношаговых методах для нахождения приближенного решения в точке t,+\
используется аппроксимация решения лишь в одной предшествующей узловой
точке tj, т. е.
x/+i = х/ + h/Ф (tj, х1, hj). (5.7.2)
Вид функции Ф зависит от конкретного задания правых частей
дифференциальных уравнений (5.7.1) и от выбранного метода. Начиная с х° =
х(0) при вычислениях можно использовать рекуррентную процедуру (5.7.2),
продвигаясь шаг за шагом по оси t. Для так называемых неявных методов
функция Ф зависит также от вектора х'+1, так что алгоритм перехода от tj
к t,-+1 должен включать в себя какую-либо итерационную процедуру для
решения системы нелинейных уравнений, относительно компонент х/+1.
5.7.1.1. Методы с использованием разложения Тейлора
Эти методы используются лишь в случаях, когда правые части уравнений
(5.7.1) можно легко продифференцировать аналитически и когда размерность
системы не слишком велика. Соотношение (5.7.2) при этом принимает вид
x'+I - x' + hj (х1)' + |f (х'Г + (x')'" + ... + |f (x'P, (5.7.3)
где использовано обозначение (х1)' = i(tj,x'), а последующие производные
получаются путем дифференцирования уравнений
