Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
1), (c)ь 62е(0,4), ае(0, 1), se(0, 10), щ, ш;е(-20,20), где s2 = "в.
*1 хп а S2 V
(5.1.3) (r) _ _
(5.5.26) X X (r)
Рис. 5.14. Матрица размещения для уравнений (5.1.3), (5.5.26), dim\фп -
2.
Случайно выбирались также индексы и величины составляющих векторов v и w,
которые остаются фиксированными в ходе решения. Выбранные исходные
значения для каждого из четырех рассмотренных методов использовались в
качестве начальной аппроксимации для метода Ньютона. При этом оказалось,
что с точки зрения сходимости наихудшие результаты дает метод с
использованием уравнений (5.1.3), (5.5.21).
Таблица 5.16. Скорость роста объема памяти и числа операций при
увеличении п для разных методов отыскания точки комплексной бифуркации.
Метод (система) Объем памяти Число операций
(5.1.3) (5.5.20) 2 п2 Л4
(5.1.3) (5.5.21) 3 п2 п4
(5.1.3)
(5.5.23) Юл2 п3
(5.5.24)
(5.1.3) (5.5.26) 6 п2 п4
5.6. Бифуркационная диаграмма
187
Таблица 5.17. Эффективность различных методов для задачи 2. Здесь же
указано число начальных приближений (из общего числа 1000 приближений,
выбранных случайным образом), при которых метод Ньютона сходится к
какому-либо из трех решений. Значения параметров: у = 1000, В = 12, Pi =
02 = 2, 0ci = 0с2 = 0, Л = 0,8, Dai = 0,2, а = Dai.
-+ *1 Реше _+ *2 ння о+ 2 а+ S+ Систе (5.5.20) ма (5.1.3
(5.5.21) ) совмес (5.5.23, 24) тно с (5.5.26)
0,2712 0,6651 0,6794 1,8543 0,0956 0,6702 0
0 30 32
0,5051 1,5328 0,7257 1,3931 0,1574 0,9408 44
0 56 44
0,8383 2,7093 0,9010 1,1539 0,2730 2,6638 145
1 26 46
Методы, рассмотренные в данном пункте, легко обобщаются на случай
нахождения точек комплексной бифуркации для дифференциальных уравнений с
частными производными параболического типа. Это обобщение будет проведено
в гл. 6.
5.6. БИФУРКАЦИОННАЯ ДИАГРАММА
Рассмотрим нелинейную динамическую модель (5.1.1) с двумя параметрами
= .....хп, а, Р), i=l, 2, ...,п. (5.6.1)
Будем исследовать поведение стационарных состояний системы
(5.6.1) и их устойчивость в "параметрической плоскости р- а". В
частности, нас будут интересовать критические значения этих параметров,
при которых возникают бифуркации - изменения числа решений или изменения
характера устойчивости отдельных решений.
В § 5.4 мы научились определять координаты точки поворота (х*, ..., х*,
а*=а0) при выбранном значении параметра р=Ро-Используя алгоритм
продолжения, можно найти зависимость координат точки поворота от
параметра р. Таким образом, в параметрической плоскости (р - а) мы
получаем некоторую-кривую, которую в дальнейшем мы будем называть кривой
точек поворота или линией кратности. Схематически эта кривая изображена
на рис. 5.15. Если мы непрерывно изменяем значения параметров а и р, то
при каждом переходе через линию кратности число стационарных решений
изменяется на два. Следовательно, если известны все линии кратности, то
они
188
Глава 5
делят параметрическую плоскость р- а на некоторые области, в каждой из
которых число стационарных решений остается постоянным. Точно так же, как
и кривые точек поворота, мы можем построить кривую точек ветвления.
Аналогично мы можем находить точки комплексной бифуркации (бифуркации
Хопфа) (х+, ..., х+, а+) при изменении значений параметра р (см. рис.
5.16). Построенную таким образом кривую в параметрической плоскости р- а
мы будем
Рис. 5.15. Схематическое изображение процесса построения кривой точек
поворота на бифуркационной диаграмме.
называть кривой точек комплексной бифуркации, или бифуркации Хопфа (их
называют также "линии нейтральности".- Ред.). Наиболее интересными
представляются те точки комплексной бифуркации, в которых (при изменении
одного параметра) меняется устойчивость стационарного решения. Если мы
изменяем параметры р и а таким образом, что пересекаем указанную кривую
точек комплексной бифуркации, то при этом изменяется устойчивость одного
из имеющихся стационарных решений задачи. Мы можем построить также кривые
точек комплексной бифуркации, в которых устойчивость стационарного
решения не меняется - эти кривые позволяют судить о рождении неустойчивых
периодических решений.
Построив в параметрической плоскости р - а кривые точек поворота и кривые
точек комплексной бифуркации, мы получаем так называемую бифуркационную
диаграмму. При этом
5.6. Бифуркационная диаграмма
189
плоскость р- а оказывается разделенной на области, в которых число
стационарных решений и их устойчивость остаются неизменными. 1121
Рассмотрим сначала построение бифуркационной диаграммы s простом случае,
когда мы могли воспользоваться методом
/Зо
/3
Рис. 5.16. Схематическое изображение процесса построения кривой точек
комплексной бифуркации (бифуркации Андронова - Хопфа) на бифуркаци-•онной
диаграмме; s - устойчивое стационарное решение, п - неустойчивое.
•отображения параметра. Так, для задачи 1, согласно формуле (5.2.4) из §
5.2, мы имели
По______________р (0 - вс) + Ав_________
Далее, в § 5.4 для нахождения точки поворота на зависимости (c)(Da) из
