Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
1 а = а** + Pha *1 - *1 + PhgSl xi=*i +Ph* [<PnSl + Фга] 1 = 2, ...,
n Nn+x=p Ni = P sign (S,) Ni = P sign (vJjSj +Ф^а) i = 2 n ti +
1
2 xi=x7 + phi a = a** + PhiS2 xi=xY+Phl [q>n + <p',aS2] i = 2, ..., n
Ni = P Nn+ i=psign(S2) Ni~p sign (фи + Ф(а52) i = 2, ..., n 1
процесса продолжения решения (см. табл. 5.7). Здесь использовано то, что
изменение остальных переменных подчиняется соотношениям
dx, , dx,
= + <5-4-28)
.или
dx. da
*г="р"+ф;.*г (5-4-29)
В таблице приведены также направляющие параметры Ni для каждой из
переменных (см. алгоритм в п. 5.2.3) и индекс k переменной, которая не
изменяется в ходе итераций метода Ньютона для уточнения стартовой точки.
9. По окончании проведения ньютоновских итераций мы можем
проконтролировать, соответствуют ли найденные стартовые
166
Глава 5
точки (хи х",а) предсказанным точкам; например, для направления 1 это
можно сделать с помощью оценок
Для направления 2 тестовая оценка производится аналогично"
Рис. 5.8. Диаграмма решений задачи (5.4.31) в окрестности точки
бифуркации*.
Проиллюстрируем применение описанного алгоритма на следующем примере:
fl - x1 - 2x2 - a - х{х2 - 3*2а + х\ - 2х\ - а2 = О,
/2 = *2-х2*2 + а2*2-а2 = 0. (5.4.31)*
Сходимость метода Гаусса-Ньютона (5.4.8) к точке ветвления х** = (1,
1/3), а** = 1/3 показана в табл. 5.8. Ход вычислений представлен в табл.
5.9, а поведение ветвей решения изображено" графически на рис. 5.8.
(5.4.30)"
1
1
2
5.4. Точки ветвления стационарных решений
167
Таблица 5.8. Сходимость метода Гаусса - Ньютона к точке ветвления для
системы (5.4.31).
Итерация Х2 а
0 1,000 1.000 1,000
1 0,992 0,497 0,502
2 0,996 0,348 0,349
3 1,000 0,333 0,333
4 1,000 0,333 0,333
Исследуем теперь характер разветвления в точках первичной бифуркации для
задачи о двух реакторах с модельной реакцией типа "брюсселятор" (см.
задачу 8). В качестве параметра а выберем параметр D\, полагая D2 = Di/p,
р = 0, 1. Независимо от D\ в задаче существует тривиальное стационарное
решение Х\ = Х2 - А, Y\ = Y2 = B/A. Матрица Якоби для правых частей
оказывается равной (если расположить переменные в порядке Xu Yi, Х2, У2)
" -(В + 1) + 2XiY1 - а х\ а О
В - 2*^ ~Х\- Юа 0 10а
а 0 -(В + 1) + 2X2Y2 - а х\
0 10а В - 2X2Y2 -Х\ - 10а _
ж, следовательно, в случае тривиального решения мы имеем
А2 а 0 1
А2- 10а 0 10а
0 В - 1 - а А2 10а -В -А2 - 10а -
'Положим А - 2, В = 6. После соответствующих вычислений находим, что
значения параметра а, при которых матрица Якоби имеет нулевое собственное
число, равны 0,0443 и 2,256. Таким образом, мы имеем две точки бифуркации
(2; 3; 2; 3; 0,0443) и (2; 3; 2; 3; 2,256). Направления ветвей решения в
первой из них, полученные с помощью описанного выше алгоритма, приведены
в табл. 5.9. Эти результаты хорошо согласуются ¦л диаграммой решений,
представленной на рис. 5.9; точка
г В - 1 - а -В а 0
Таблица 5.9.
а) Ход вычислений для точки ветвления (1; 0,3333; 0,3333) из примера1
(5.4.31).
~ Г 2,6667 -5,3333 -2,6667 Т
j - [_ о о о J ' ^21 - *^2а -
/=i 1=2 1=а
fn, 2 -1 0
^ 12/ -1 -4 -3
flat 0 -3 -2
hij 0 -1,3333 1,3333
^22/ -1,3333 0 0
4/ 1,3333 0 0
Л = -1,3333, В = 2, С = 0; Si = dxijda = 0, dx2/da = -0,5; S2 = = da/dxi
= 0,3333, dx2ldxi = 0,3333.
Стартовые точки (hi - ha = 0,01):
*i *2 а Ni n2 N3 k
1,000 0,328 0,343 0 -1 1 3
1,000 0,338 0,323 0 1 -1 3
1,010 0,336 0,336 1 1 1 1
0,990 0,330 0,330 -1 -1 -1 1
b) Направления разветвления в точке первичной бифуркации (2, 3, 2, 3,
0,04433) для задачи 8. А - 2, В = 6, р = 0,1.
Направление 1: dXi dYi dX2 - dY2 -0
da da da da
Направление 2:
U-!,2278. Hi-!. -§--1,2278, §
5.4. Точки ветвления стационарных решений
169
бифуркации является здесь одновременно и точкой ветвления, и ¦"точкой
поворота".
5Рис. 3:9. Диаграмма стационарных решений задачи 8, N = 2; А = 2, В = 6,
Р = ОД.
При построении диаграммы решений важной проблемой яв-.ляется отыскание
всех ветвей решения. Наряду со случайным выбором начальных приближений
для метода Ньютона (см. §5.1) мы можем теперь воспользоваться еще одной
возможностью.
170
Глава 5
С помощью генератора случайных чисел будем формировать начальные
приближения для алгоритмов нахождения точек, поворота и особенно точек
ветвления. К каждой найденной точке поворота или точке ветвления мы
применяем алгоритм, продолжения по каждой ветви, отходящей от этой точки,
заканчивая процесс продолжения по достижении уже известной точки
ветвления или точки поворота. Основная трудность здесь состоит в том,
чтобы с помощью данного алгоритма не просчитывать некоторые ветви решения
дважды или четырежды.
5.4.3. Возникновение изол на диаграмме решений
Возникновение и существование изол на диаграмме решений; мы попытаемся
объяснить с помощью двухпараметрической системы уравнений
fi(xu х2, ..., хп, аи а2) = 0, г= 1, 2, ..., п. (5.4.32)
Принимая во внимание сложности графического представления такой системы,
будем полагать в ней п = 1, т. е. рассматривать уравнение вида
