Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 40

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 742 >> Следующая

одномерном случае, выразим старые переменные через новые с помощью этой
производящей функции и подставим их в (1.2.13в). Приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях е, находим в нулевом порядке
я0(7) = я0(7), (2.2.30)
96
Глава 2
и в первом порядке
Я, = (c)(7j. 01. (2.2.31)
ае
Здесь вектор частот <о невозмущенного движения определяется
формулой
м(7) = дН°(r) ¦ (2.2.32)
dJ
Усредняя по всем угловым переменным, имеем
Н = Н0 (7) + е </Д (7, 0)) (2.2.33)
и
{Н^. (2.2.34)
дв
Решение последнего уравнения можно получить путем интегрирования вдоль
траекторий возмущенного движения. Действительно, так как в выражении
dSi __ dSt dSj, dSt dJ
dt dt 50 dt ' gj dt
(2.2.35)
в нулевом порядке первый и третий члены правой части равны нулю, то
производная dSJdt равна левой части (2.2.34) и можно написать
S1==- |{Я1(7, 6(i))}dt. (2.2.36)
Интегрируя ряд Фурье для Нъ окончательно получаем
S(7,r 6)"=7-0 + ei У. Н[т^ eim"(r)+ ¦¦¦ ¦ (2.2.37)
* ' -d m m(j)
тф О 4 '
Мы сразу же сталкиваемся с проблемой малых знаменателей, так как для
любого J всегда найдется такое т, что m m (J) окажется сколь угодно
близко к нулю, и сходимость рядов явно нарушается. Подчеркнем еще раз,
что это обстоятельство отражает в равной мере трудности как
математического, так и физического характера. Оно возникает из-за
фактического действия резонансов, которое, как будет показано в § 2.4,
изменяет топологию фазовых траекторий. Несмотря на это, значительные
усилия были потрачены на попытки по крайней мере "отодвинуть"
секулярность в более высокие порядки разложения. В защиту этих, казалось
бы бесперспективных, методов заметим, что они дают решения, сходящиеся к
истинным решениям в определенных областях фазового пространства для
конечных, но больших интервалов времени. Более того, в некоторых случаях
такие решения хорошо аппроксимируют движе-
Каноническая теория возмущений
97
ние в течение любого времени, если используется крупноструктурное
разбиение фазового пространства 1). Последний результат связан с
фактической сходимостью (согласно теории КАМ) определенных решений для
некоторых значений J. Как мы увидим ниже, в случае двух степеней свободы
эти решения жестко ограничивают резонансные траектории, которые
вынуждены, таким образом, оставаться вблизи нерезонансных траекторий.
Явная зависимость от времени. Для системы с одной степенью свободы и
явной зависимостью гамильтониана от времени мы получим в первом
порядке по е некоторые соотношения, которые понадобятся нам в
дальнейшем. Начнем с гамильтониана
H = + 0, t), (2.2.38)
в котором возмущение периодично по 0 с периодом 2л и по
времени
с периодом 2n/Q, а
#1=2 нит (J) в1 (,e+mQt). (2.2.39)
I, т
Как и в п. 2.2а, выбираем производящую функцию 5 в виде
S = 70 + eS3.(7, 0, t). (2.2.40)
При этом переход от старых переменных к новым выполняется с помощью
(2.2.6). Из-за явной зависимости Нг от времени соотношение (2.2.7)
изменяется:
77(7, 0, t) = H(J, 0, O + (2.2.41)
dt
Разложение по е дает
770 = Яо(7), (2.2.42)
#i = -L + со -j- Нг. (2,2.43)
ft дв
Подбирая, как и прежде, S* таким образом, чтобы уничтожить переменную
часть Нъ находим в первом порядке по е
Я = Я0 -f- е (Hi), (2.2.44)
где усреднение производится как по 0, так и по t, а
+ со^- = - {Ях}. (2.2.45)
ft 30
Для нахождения Sx произведем фурье-разложение
Sx = i -----^Mm(7) g? (ie+mQt)_ (2.2.46)
/со (J) + mQ
I, m T- 0
*) To есть при конечной точности описания.- Прим. ред.
98
Глава 2
Мы вновь сталкиваемся с малыми знаменателями, препятствующими сходимости
рядов.
Классическая каноническая теория возмущений может быть весьма полезна при
определении интегралов движения, если система находится достаточно далеко
от первичных (т. е. проявляющихся в низшем порядке теории возмущений)
резонансов. Для иллюстрации выберем функцию Нъ содержащую только одну
гармонику по 0:
Я1=Д(7, t) + V(J, t) cosO. (2.2.47)
Чтобы найти Sj явно, представим Нг и Sx рядами Фурье
Нг ( 7, 0, /] = ? blm(7) cos 1/0- mQt \, (2.2.48)
S1(J, 0, /)=2a,m(/)sin(70 - mQt\, (2.2.49)
где суммирование производится по всем т для / = 0 и / = 1. Подставляя
(2.2.49) в (2.2.45), определяем коэффициенты а[т при /, т Ф 0:
а1т = -----------------------------(2.2.50)
mQ - ко (у)
В области таких значений /, при которых знаменатели не малы, функции aim
не имеют особенностей. В первом порядке по е новый гамильтониан, как и в
одномерном случае, имеет, согласно (2.2.44), вид __
H = H0(j) + eb00{J). (2.2.51)
Новая переменная действия равна
7(/, 0, /) = / -е dSiOK0.*)... (2.2.52)
Любая функция вида / (/), так же как и J, является интегралом
движения. Ниже (п. 2.4г) мы используем этот факт для построения
глобальных интегралов движения.
Взаимодействие частицы с волной. Проиллюстрируем методы и ограничения
канонической теории возмущений в случае нескольких степеней свободы на
практически интересном примере взаимодействия заряженной частицы с
электростатической волной в однородном магнитном поле (рис. 2.3). Такая
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed