Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 5.5. Диаграмма стационарных решений задачи 2, у = 1000, В = 22, Pj =
(5 = 2, 0Ci == 0Сг = 0: А = 1, a=Dat = Da2; сплошные линии - устойчивые
решения, штриховые - неустойчивые решения.
10*
и 100
1 3 510 30 г
Рис. 5.6. Диаграммы стационарных решений некоторых задач из главы 4;
сплошные линии - устойчивые решения, штриховые линии - неустойчивые
решения, а) Задача 8, каскад из двух реакторов с однонаправленным
течением, уравнения (Р8-2а), (Р8-3а), (Р8-4), (Р8-5); А = 2, В = 4, D2 =
= КШь 6) Задача 4; у = 3, р = 1,5; v0 = 0,01. с) Задача 10; о = 16" 6 =
4. d) Задача 8; N = 2, уравнения (Р8-2)-(Р8-5); /4 = 2, 5 = 6, D2 = =
IQDi. е) Задача 8; N = 3, уравнения (Р8-7)-(Р8-12); А = 2, 5 = 6,. 1>2=
105,. f) Задача 8; N = 4, уравнения (Р8-7)-(Р8-10), (Р8-14) -(Р8-17), /4
= 2, 5 = 6, ?>2 = Ю?>1. g) Задача 2; у = 20, Л = 1, 0Ci = 0С2 = - 5, Pj =
Р2 = 1, 5 = 15, Da = Dat = Da2. h) Задача 1; у = 20; 5 = 9, 0С=О,
Da = 0,02. i) Задача 5; значения параметров см. в табл. 4.1.
5.3. Исследование устойчивости стационарных решений
149*
скольку значения трех других переменных состояния на каждой из ветвей
оказываются разными.
Построение диаграммы решений представляет собой важнейшую задачу анализа
нелинейной динамической системы15. Читателю, который хочет практически
освоить эту проблематику, мы советуем рассчитать несколько диаграмм
решений самостоятельно. На рис. 5.6 изображены 9 диаграмм решений для
различных задач, рассмотренных в гл. 4. Диаграммы решений, представленные
на рис. 5.6b, h, i, можно получить с помощью отображения соответствующего
параметра. Диаграмму на рис. 5.6с можно построить аналитически. Начальные
значения для продолжения решений на рис. 5.6d, е, f читатель найдет в
табл. 5.1 при Di = 0,4.
5.3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
В этом параграфе, который носит вспомогательный характер,, мы опишем
методику исследования устойчивости стационарных решений по линейному
приближению. Как известно, устойчивость решения зависит от собственных
чисел матрицы линеаризованной системы. Мы коротко рассмотрим методы
нахождения коэффициентов характеристического многочлена матрицы и
приведем критерий устойчивости Рауса - Гурвица. В дальнейшем мы
используем характеристический многочлен при нахождении бифуркационных
точек (§§ 5.4, 5.5, 5.8), а также для определения устойчивости
периодических решений (§ 5.8). Наконец, мы напомним о методе нахождения
собственных чисел матрицы непосредственно как корней характеристического
многочлена, что является более предпочтительным при небольших размерах
системы.
5.3.1. Линейные уравнения
Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
|г = Ах (5-3.1)
имеет (в случае невырожденной матрицы А) единственное стационарное
решение х = 0. Если у матрицы А нет кратных
о Во многих задачах нахождение стационарных решений есть лишь первый шаг,
основной же интерес представляют периодические (или еще более сложные)
решения. - Прим. ред.
150
Глава 5
собственных значений, то решение системы (5.3.1) можно представить в виде
х(0=ЕсЛ...](еКеЧ (5.3.2)
i=1
где в квадратных скобках стоит либо собственный вектор матрицы А,
соответствующий вещественному собственному числу Jw, либо ограниченная
векторная функция переменной t, если Я,- - мнимое число. Постоянные С,
определяются начальным условием х(0). Из разложения (5.3.2)
следует, что устойчивость
(в данном случае глобальная) стационарного решения системы
(5.3.1) определяется вещественными частями собственных чисел Xi. Если
для любого собственного числа матрицы А имеет место условие
Re^,<0, i- 1, ..., п, (5.3.3)
то нулевое стационарное решение является асимптотически
устойчивым; в частности, для всякого решения системы (5.3.1) выполняется
условие
lim || х (011 = 0. (5.3.4)
t-> ОО
Если какое-нибудь собственное число имеет положительную вещественную
часть, то нулевое решение, очевидно, неустойчиво: существуют решения
х(/), для которых |[х(?) ||-"-оо при t-> оо (и сколь угодно малых х(0)).
Эти утверждения справедливы и для случая кратных собственных чисел. При
этом в квадратных скобках в разложении (5.3.2) появляются многочлены от
t, •однако, как известно, экспоненциальная функция убывает (или
возрастает) быстрее, чем многочлен любого порядка.
5.3.2. Характеристический многочлен
Собственные числа матрицы А являются корнями характеристического
многочлена
Р (А,) = (- 1)" det (А - М) = Хп + а{кп~1 + ...
... + ап_{к -|- ап. (5.3.5)
Для п = 2 или 3 мы можем получить характеристический многочлен прямо из
определения детерминанта. Для больших же значений п этот процесс
оказывается очень трудоемким и неудобным даже при использовании ЭВМ.
Существует целый ряд методов для вычисления коэффициентов
характеристического многочлена (см., например, ра-
5.3. Исследование устойчивости стационарных решений
15Г
боты [5.6, 5.7, 5.8]). Ниже мы рассмотрим только два из них, наиболее
простые с вычислительной точки зрения - это метод Крылова и метод
