Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
сопоставить полученные результаты с данными рис. 5.2 для а = 1. Вторая
часть таблицы характеризует влияние погрешностей аппроксимации при
выбранном методе интегрирования. При этом чем меньше шаг интегрирования,
тем лучше найденные значения аппроксимируют реальную зависимость. Из
таблицы видно, что даже в случае рассматриваемой простой задачи для
получения достаточно точных результатов нам пришлось бы выбирать Az очень
малым. Это обусловлено, конечно, в первую очередь низким порядком
аппроксимации используемого метода Эйлера (погрешность аппроксимации в
этом случае есть О (Да)). Если выбрать более эффективный метод
интегрирования, например метод Рунге-Кутты 4-го порядка, то результаты
окажутся более точными. Полученное решение, однако, также, хотя и в
меньшей степени, будет отличаться от истинной зависимости. Вследствие
этого представляется необходимым после прохождения некоторого интервала
изменения переменной z всегда уточнять решение, т. е. корректировать его
так, чтобы выполнялось исходное уравнение (5.1.3), или, для
рассматриваемого случая, уравнения (5.2.16). Так появились методы
продолжения типа предиктор-корректор, которые мы опишем в следующем
пункте.
5.2.3. Алгоритм продолжения типа предиктор-корректор
В принципе существуют две возможности коррекции погрешностей
аппроксимации, накапливающихся при продолжении решения с использованием
простого предиктора. Первая из них заключается в том, чтобы
контролировать, как отличается решение от истинного, например, по норме
||f||, и когда это отличие превышает некоторый заранее заданный допуск,
использовать для уточнения результатов какой-либо итерацион-
J =
-Л - k0xE,
-&qTBE, -Л -f-
k0% (1 - x) E
(1+e/Y)2 '
k0xB (1 - x) E (1+e/Y)2
k0(l - x)E
ax, k0B(l-x)E-a(Q-Qc)_ (5.2.17)
5.2. Зависимость стационарных решений от параметра
145
ный метод (например, метод Ньютона). При другом подходе также
используется метод Ньютона, но после каждого шага предиктора. При этом в
методе Ньютона осуществляется лишь такое число итераций, чтобы приращение
Ах по соответствующей норме оказалось бы меньше заданной точности
вычислений. В обоих подходах уточняются выбранные п из n+ 1 переменных
xi, ..., хп, Хп+1 = а.
Выбор неизменяемой переменной (ее индекса k) не является произвольным:
например, в окрестности предельной точки это не может быть а, а в
окрестности экстремума х, это не может быть Xi. Поэтому алгоритм выбирает
ее сам, причем одной из возможностей является использование того же
самого механизма, что в п. 5.2.2. Диаграмма вычислений для описанного
алгоритма продолжения типа предиктор-корректор представлена на рис. 5.4.
В работе [5.5] этот алгоритм расписан на языке Фортран, соответствующая
подпрограмма называется DERPAR. В данной книге мы будем использовать это
название. Отметим, что в этой подпрограмме вместо метода Эйлера в
предикторе используются варианты многошагового метода Адамса-Башфорта
переменного порядка.
Приведенный алгоритм продолжения беспрепятственно преодолевает точки
поворота на зависимостях решения от параметра. В точках же ветвления он
обычно дает продолжение первоначальной ветви решения. Продолжение может
не удаться, если очередная вычисленная точка окажется слишком близкой к
точке ветвления. Сигналом, указывающим, что мы перешли за точку
ветвления, может служить изменение знака det Jfe определителя матрицы J*.
Таким образом, указанный алгоритм формирует зависимость решения от
параметра, представляющую собой непрерывную кривую в (п+1)-мерном
пространстве переменных х\, ..., хп, xn+i = а. Разумеется, алгоритм
DERPAR не приспособлен для того, чтобы с его помощью построить всю
диаграмму решений целиком. Для каждой изолированной ветви кривой f(x, а)
= 0 ему нужна новая начальная точка, которую можно получить, например,
методом случайного перебора начальных приближений для схемы Ньютона (см.
§ 5.1). Наконец, отметим, что описанный алгоритм не рассчитан на точное
нахождение бифуркационных точек в пространстве (х, а). Обнаружив такую
точку, ее координаты можно точно вычислить с помощью алгоритмов,
описанных в п. 5.4.1, и определить затем соответствующие начальные
значения для процесса продолжения на остальных ветвях решения (см. п.
5.4.2).
В последнее время был разработан целый ряд методов и алгоритмов,
связанных с процессом продолжения (см., например,
10 М. Холодниок и др.
146
Глава 5
работы [5.24], [5.25]), где большей частью используется практически тот
же подход, что и в алгоритме DERPAR.
Рис. 5.4. Схема алгоритма продолжения DERPAR.
Результат применения алгоритма продолжения DERPAR для задачи 2 [5.5]
представлен на рис. 5.5. При этом вся кривая целиком была построена путем
одного обращения к алгоритму. Отметим, что на диаграмме решений имеется 6
точек поворота и отсутствуют точки ветвления. Точка пересечения трех
ветвей на рисунке не является точкой бифуркации, по-
5.2. Зависимость стационарных решений от параметра
147
