Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
2,85 0,25572 0,756 0,047 ±1,71 NO
2,9 0,25727 0,764 -0,005 ±2,0i SO
3,2 0,27374 0,812 -0,44 ±3,0i SO
3,5 0,31241 0,860 -1,3 ±3,8i SO
3,8 0,40502 0,908 -3,0 ±2,7i SO
4,0 0,55889 0,940 -2,1 -9,7 SU
4,2 1,0790 0,972 -1,7 -29 SU
4,35 6,9904 0,996 -1,6 -240 SU
О См. п. 5.3.4 (S - седло, SU - устойчивый узел, NU - неустойчивый узел,
SO- устойчивый фокус, NO - неустойчивый фокус, Я,ьа - собственные числа
матрицы Якоби).
горитм для отображения параметра т. Фиксируя значение 0, мы получаем для
т квадратное уравнение вида
p!i^exp(_e_)]t! +
+ [Ао (В - 0) exp ( t +в/у) -а (в- 0С)] т + [-Л0] = 0. (5.2.5)
Диаграмма решений, построенная с помощью этого уравнения для нескольких
различных значений параметра а, представлена на рис. 5.2.
Читатель может легко вывести аналогичные алгоритмы для задач 5 и 6. В
обоих случаях фиксируются значения концентрации субстрата Cs и
подсчитывается значение некоторого параметра задачи. В задаче 6 это могут
быть параметры р,, V/F, Ks, Ki. В случае же задачи 5 соответствующая
процедура оказывается более сложной, и мы приведем лишь краткое ее
описание.
138
Глава 5
0. Левые части соотношений (Р5-1) - (Р5-6) полагаем равными нулю. При
этом для стационарных значений cz и ст МЫ получим Cz = CzO, ст = Сто.
1. Выбираем значение cs.
2. Из уравнений (Р5-1) и (Р5-2) вычисляем сх и р.
3. Подставляя результат в уравнение (Р5-3), находим линейную зависимость
рс от сс, которую затем подставляем
Рис. 5.2. Диаграмма стационарных решений задачи 1, у = 20, В - 10, Л=1,
0с = -5, ko = 1; сплошные линии - устойчивые решения, штриховые -
неустойчивые решения.
в соотношение (Р5-4). При этом мы получаем квадратное уравнение
относительно сс. Физически допустимые решения этого квадратного уравнения
дают нам окончательные значения сс, рс-
4. Из уравнения (Р5-9) для р (величину р мы уже определили на этапе 2)
можно найти теперь один из параметров p., Ks, Ки Ко, К\ в предположении,
что остальные параметры заданы.
Как уже говорилось, метод отображения параметра не обладает достаточной
общностью. В связи с этим были развиты методы общего характера, которые
мы рассмотрим в следующих пунктах.
5.2. Зависимость стационарных решений от параметра
139
5.2.2. Метод дифференцирования по параметру
Пусть в точке (х°, а0) выполнены условия теоремы о неявной ¦функции: f
(х°, а0) = 0 и матрица Якоби J (х, а) = [dfi/dXj] невырожденная.
Тогда для функции х{а), задаваемой уравнением f(x, а) = 0,
g = -[J(x, а)гЧ^(х, а). (5.2.6)
Соотношение (5.2.6) можно трактовать как систему дифференциальных
уравнений для нахождения функции х(а) с начальным условием
ХЫ = Х°. (5.2.7)
Если матрица J на промежутке [а0, а1] оказывается регулярной (имеющей
обратную), то зависимость решения от параметра х(а), найденная путем
интегрирования этой системы, будет удовлетворять соотношению
f(x(a), a) = 0, a g [a0, a1],
поскольку
f (x (a), a) = J (x (a), a) • -^- + -?¦ (x (a), a) s= 0.
В критических точках диаграммы решений матрица J оказывается вырожденной,
и потому указанный подход, т. е. численное интегрирование системы
дифференциальных уравнений
(5.2.6), отказывает в тех же точках, что и процедура последовательного
применения метода Ньютона *>. Однако этот метод можно модифицировать
путем введения нового параметра. Обычно в качестве такого параметра
выбирается длина дуги на кривой f(x,a) = 0 в (п+1)-мерном пространстве
переменных Xi,X2, ..., хп, а.2) Обозначим ее через г\ тогда,
дифференцируя тождество f (x(z), a (2)) = 0 по г, находим
"• <>¦**>
/=1 1
При этом уравнение
(?)'+••• +(тг)! + (?У=1 <5-2-9>
о Точнее, в этих точках теряет смысл само уравнение (5.2.6). ¦-Прим.
ред.
2> Дело, конечно, не в выборе параметра, а в рассмотрении хна как
равноправных переменных. Эта, почти очевидная, мысль не требует
обязательного рассмотрения дифференциального уравнения (5.2.6). - Прим.
ред.
140
Глава 5
определяет параметр г как длину дуги кривой. Начальное условие (5.2.10)
теперь принимает вид
z = 0: х = х°, а = а°. (5.2.10)
Соотношения (5.2.8) можно рассматривать как систему п линейных
алгебраических уравнений относительно п + 1 неизвестных dxi/dz, dxi/dz,
..., dxn/dz, da/dz. Мы можем решить эту систему так, чтобы найти
зависимость выбранных п неизвестных от заданной неизвестной dxk/dz, где k
фиксировано. В дальнейшем для упрощения записи будем обозначать
хп+\ - <*• (5.2.11)
Для построения указанной зависимости необходимо, чтобы матрица
dfi dfi dfi dfi 1
дх{ ' " dxk-x dxk+x ' ' * * dx oxn+1
dfn dfn dfn dfn
_dx{ ' dxk+i ' ' * * * dx oxn+l J
(5.2.12)
которая получается из матрицы системы (5.2.8) J вычеркиванием k-то
столбца (квадратная матрица размером пУСп), оказалась невырожденной.
В точке поворота всегда можно выбрать индекс k так, чтобы матрица была
невырожденной; в точке ветвления, наоборот, все ik вырождены. Если
матрица - невырожденная, то систему (5.2.8) можно представить в виде
dX' " i=l, 2, ..., Л-1, k+l, ..., я+1, (5.2.13)
dz
$idSk
