Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
135
В этом параграфе мы займемся построением зависимости стационарных решений
от одного (скалярного) параметра а, входящего в систему (5.1.3).
Найденные зависимости, представленные в виде соответствующих графиков, мы
будем называть диаграммой решений (см. гл. 3, § 3.1).
Простейший метод построения диаграммы заключается в последовательном
использовании итерационной процедуры, описанной в § 5.1. Так, например,
выберем в интервале изменения значений параметра а узловые точки а0 < а1
< ... <а* и применим последовательно метод Ньютона для указанных значений
а. В качестве начального приближения для нашего итерационного процесса
при а = а' мы будем выбирать решение х, найденное при а = а'-1, т. е.
х(а'-1). Если сетка значений параметра а достаточно густа и на полученных
зависимостях отсутствуют точки бифуркации, то для обеспечения сходимости
метода Ньютона при каждом значении а оказывается достаточным од-ной-двух
итераций. Указанная методика не позволяет, однако, переходить через точки
поворота на диаграмме решений (см. § 3.1), а в окрестности точек
ветвления процесс может даже расходиться. Поскольку метод
последовательных шагов не является универсальным, были развиты методики,
с помощью которых построение зависимости решения от параметра в целом
происходит более или менее автоматически. Основные принципы этих методик
будут рассмотрены в последующих пунктах.
5.2.1. Отображение параметра
Во многих случаях оказывается возможным использовать некоторые
специальные свойства системы (5.1.3), которые позволяют разработать тот
или иной неитерационный алгоритм (или же, при необходимости,
итерационный, но в пространстве существенно меньшей размерности).
Рассмотрим, например,случай, когда система (5.1.3) нелинейна лишь по
одной переменной хк и линейна по всем другим переменным, а также по
параметру а. Тогда для построения диаграммы решений мы можем использовать
следующий подход. Выберем последовательность значений переменной хк
(достаточно близких друг к другу). Для каждого выбранного значения
переменной хк решим систему линейных алгебраических уравнений (5.1.3)
относительно неизвестных х1г х%, ..., хк-\, xk+\, ..., хп, а (например,
методом исключения Гаусса) - в результате мы получим одну из точек
диаграммы решений. Существуют и другие возможности отображения параметра,
когда, например, мы пользуемся тем, что умеем решать квадратное
уравнение, можем построить соответствующую обратную функцию и т. д.
Используемый при этом
136
Глава 5
подход всегда зависит от конкретного вида уравнении, и мы
продемонстрируем указанную методику на нескольких примерах.
Рассмотрим задачу 1 (см. гл. 4, п. 4.2.1). Стационарное состояние в
данном случае описывается уравнениями
-Лх + Da (1 - х) ехр ( t +в0/у) = 0, (5.2.1)
-Л0 + В Da (1 - х) ехр (-р^) - Р (в - вс) = 0, (5.2.2)
где х и 0 - переменные состояния. Умножая уравнение (5.2.1) на параметр В
и вычитая полученный результат из уравнения
(5.2.2), после простых преобразований мы получаем соотношение
* = ¦§-+ Иевл0с) ¦ (5-2-3>
которое позволяет свести систему двух уравнений (5.2.1) и
(5.2.2) к одному нелинейному уравнению для переменной 0:
-A0 + Da(?-0- Р<0-0">) ехр(-г^-)-р(0 + 0с) = О.
(5.2.4)
Уравнение (5.2.4) зависит от переменной 0 нелинейно, тогда как параметры
Da В, |3 и 0С входят в него линейным образом. Параметр Л (после умножения
обеих частей уравнения на Л) входит в полученное уравнение квадратичным
образом, а параметр у - нелинейно. Для нахождения зависимости решения от
параметра Da (при фиксированных значениях остальных параметров) можно
использовать следующую процедуру:
1. Выбираем значение 0(0 > 0С)..
2. Из уравнения (5.2.4) подсчитываем значение параметра Da.
3. Из уравнения (5.2.3) находим значение другой переменной состояния х.
Пример одного из вариантов расчета представлен в табл. 5.3. Читатель
может легко построить соответствующие алгоритмы для отображения
параметров В, р и 0С, а если воспользоваться решением соответствующего
квадратного уравнения, то и для отображения параметра Л.
Рассмотрим теперь задачу 1 в форме (Pl-6), (Р1-7), введя параметры т
(время задержки в реакторе) и а по формулам [5 = а%, Da = &ot. Совершенно
аналогично можно построить ал-
Напомним, что Da - обозначение одного параметра (числа Дамкёле-ра), а не
произведение D-a. - Прим. ред.
5.2. Зависимость стационарных решений от параметра
137
Таблица 5.3. Отображение параметра Da в задаче 1 (у = 20, В = 10, Л = 1,
0с = -5, Р = 0,6)."
в D.1 X К К2 Тип
-1,85 0,03084 0,004 -1,0 -1,6 SU
-1,5 0,32306 0,060 - l,0±0,4i so
-0,8 0,47798 0,172 -0,08 -0,87 SU
-0,75 0,47849 0,180 -0,01 -0,87 SU
-0,7 0,47823 1,188 0,056 -0,87 s
0,0 0,42857 0,300 0,83 -0,86 s
0,5 0,37631 0,380 1,2 -0,84 s
1,0 0,32866 0,460 1,5 -0,8 s
1,5 0,29083 0,540 1,6 -0,73 s
2,0 0.26484 0,620 1,5 -0,61 s
2,4 0,25394 0,684 1,1 -0,37 s
2,55 0,25260 0,708 0,68 -0,13 s
2,6 0,25254 0,716 0,42 0,06 NU
2,65 0,25270 0,724 0,21±0,66i NO
