Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Подробное рассмотрение вычислений в высших порядках содержится в § 2.5,
где представлены современные методы с использованием преобразований Ли.
Здесь мы ограничимся тем, что выпишем в явном виде соотношения,
необходимые для определения нового гамильтониана с точностью до второго
порядка по е. Более детальное обсуждение рядов Пуанкаре-Цейпеля можно
найти в работах Борна [34] и Джакалья [153].
Предположим, что в соотношении (2.2.1) только Я0 и Я2 отличны от нуля.
Пусть 5 и Я представлены степенными рядами по е вида (2.2.3) и (2.2.4),
тогда выражения (2.2.8а) и (2.2.86) можно выписать явно
Ч Функцию S10 нельзя найти из (2.2.14), но можно просто положить ¦^ю = 0,
не нарушая этого условия.- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
93
ЯД/(у, е))= я0(/)+- V
дтНп / " 5 S
ЯД/(/, 0), 6)= ЯД/, 0)+- V
5/ш V 59
1 5ШЯ, / " 5S
(2.2.18а)
т! ,5/ш \ 50
(2.2.186)
Полагая Н функцией только переменной действия J и приравнивая Н = Н с
помощью выражения (2.2.18), получаем в нулевом и первом порядке по е
соотношения (2.2.9) и (2.2.10) соответственно. Во втором порядке по е
находим (без обращения 0):
77 _ 5Я0 dS2 , 1 д-На ( dSx \2 дНх dSx
Пъ --
5/ 59 2 5J2 \ 59 / gj 59
(2.2.19а)
Поскольку Я2 является функцией только J, то имеем
Н 2 =_5Я^__5^_\ (2.2.196)
\ 2 ,572 \ 59 / ^ d~j 59 /е
а периодическая по 0 функция S2 определяется из условия 5Я0 552 _ | 1
52Я0 / 5SX \2 5Я! 55!
JL / 55t у 2 V 59 /
'(2.2.19в)
5/59 (2 5/2 V 59 / 5/ 59 J0
скобки ( ) и { j, как и раньше, соответствуют усредненной и осциллирующей
частям выражения. Частота колебаний вычисляется обычным образом как со =
дН/dJ.
Маятник. Для иллюстрации описанного выше метода разложения рассмотрим
нелинейные колебания маятника, гамильтониан которого имеет вид [см.
(1.3.6)]:
Нр = Gp2 - F cos ф = Е. (2.2.20)
В качестве невозмущенной системы Я0 р выберем квадратичную часть
гамильтониана, которая соответствует линейным колебаниям, а оставшиеся
члены будем считать возмущением. Раскладывая Нр в ряд Тейлора и опуская
постоянную, получаем
94
Глава 2
где первые два слагаемых представляют Я0р. Малый параметр в отмечает, как
и раньше, порядок членов возмущения. Истинным параметром разложения
является отношение энергии колебаний к энергии на сепаратрисе. Для
применения методов теории возмущений удобно перейти предварительно с
помощью (1.2.69) к переменным действие - угол неЪозмущенной системы Я0р.
Новый
#2 = -- (10-15 cos 20+ 6cos 40 - cos 69). (2.2.22в)
2880(Og
Применяя полученные выше результаты и усредняя (2.2.226) по 0, получаем,
согласно (2.2.15), новый гамильтониан до первого порядка по е
Последнее соотношение показывает, что частота колебаний уменьшается с
ростом их амплитуды; это согласуется с разложением (1.3.13) с точностью
до первого порядка по я. Исключая J из (2.2.23) и (2.2.24), получаем
зависимость ю (Я), которая изображена на
гамильтониан Н = Е F принимает вид
Я = co"J - GJ2 sin4 0 -
6
90
sine0- . . . ,
2
3
(2.2.21)
где оэ0 = (FG)X 2 - частота невозмущенных колебаний. Преобразуя степени
sin 0, находим
QQ 1 I I I I 1 I I I L
-0,8-0,6-0,4-0,г О О,г Ofi 0,6 0,8 1 E/F
Я0 = со0/, (2.2.22а)
Я1 =
Рис. 2.2. Зависимость частоты колебаний маятника (2.2.20) от энергии.
= - (3-4 cos 20 Д- cos 40),
/ - точг'ая формула (1.3.13); 2 - теория
возмущений в первом порядке; 3 - теория возмещений во втором порядке (п.
2.56).
(2.2.226)
Я = С0(Д -GJ2
16
(2.2.23)
и нсв\ю частоту колебаний
(2.2.24)
Каноническая теория возмущений
95
рис. 2.2 кривой 2; ее можно сопоставить с точным результатом (1.3.13),
представленным на рис. 2.2 кривой 1.
Производящую функцию можно найти путем интегрирования уравнения (2.2.14):
S1=------------(8 sin 20- sin 40). (2.2.25)
192ш0
Используя это выражение, нетрудно получить преобразование (2.2.6) от
старых переменных к новым.
* 2.26. Несколько степеней свободы
Если возмущенный гамильтониан описывает автономную систему с несколькими
степенями свободы или явно зависит от времени даже для одной степени
свободы, то рассмотренные выше разложения оказываются расходящимися.
Чтобы убедиться в этом, обобщим метод Пуанкаре-Цейпеля на случай
автономного гамильтониана с N степенями свободы. Явную зависимость от
времени можно учесть с помощью дополнительной степени свободы в
расширенном фазовом пространстве. Запишем
Я {,/, 0) = Но (J) + гН1 (J, 0), (2.2.26)
где У и 0 - Я-мерные векторы переменных действия и
углов не-
возмущенной системы Н0, а Нх - периодическая функция всех угловых
переменных
Я1 = (2.2.27)
m
В последнем выражении использовано обозначение
m ¦ 0 = - /л202 + . . . +mNQN, (2.2.28)
где mi - целые числа, по которым производится Я-кратное сумми-
рование в (2.2.27). Будем снова искать преобразование к таким переменным
J, 0, для которых новый гамильтониан Н зависит только от J. Введем
производящую функцию
S=7.0 + e?Sim(7yOT'e, (2.2.29)
пг
которая в нулевом порядке по е отвечает тождественному преобразованию, а
в первом содержит iV-кратную сумму, периодическую по 0. Как и в
