Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Systems. J. Wiley, New York, 1977. [Имеется перевод: Николис Г., Приго-
жин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир,
1979.]
[4.37] Tomita К., Tsuda М.: Phys. Lett. 71А (1979), 489.
,[4.38] Leray J.: Acta Math. 63 (1939), 193.
Ландау Л. Д., Лившиц E. М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1988.
[4.39] Ruelle D., Takens F.: Comm. Math. Phys. 20 (1971), 167; 23 (1971),
343
[4.40] Lorenz E. N.: J. Atmos. Sci. 20 (1963), 130.
Sparrow С. T: The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange
Attractors, Springer, New York, 1982.
[4.41] Samohyl I.: Racionalni termodynamika chemicky reagujicich smesi.
Academia, Praha, 1982.
[4.42] Mimura М., Nishiura Y., Yamaguti М.: Some Diffusive Prey and
Predator Systems and their Bifurcation Problems. Ann. New York Acad. Sci.
316 (1979), 490.
[4.43] Hustak P., Kubicek М., Marek I., Marek М.: Bifurcation in
Reaction-Diffusion Systems. In: "Theory of Nonlinear Operators", Academie
Ver-lag, Berlin (1978), 117.
4.44] Gierer A., Meinhardt W.: Kybernetik, 12 (1972), 30.
4.45] Meinhardt H.: J. Cell Sci 23 (1977), 117.
4.46] Marek М., Kubicek М.; Bull Math. Biol. 43 (1981), 259.
4.47 Marek М., Kubicek М.: Z. Naturforsch. 35a (1980), 556.
4.48 Hlavacek V., Marek М.: Chem. Engng. Sci. 29 (1966), 501.
4.49] Aris R., Varma N.: Chemical Reactor Theory (Lapidus, L., Amundson,
N. R. eds.). Prentice-Hall, Englewood Cliffs, (1977), 79.
4.50] Liu S. L" Amundson N. R.: IEC Fundls 1 (1962), 200; 2 (1963), 183.
4.51] Karanth N. G., Hughes R.: Cat Rev. - Sci. Eng. 9 (1974), 169.
4.52] McLaughlin J. B" Martin P. C.: Phys. Rev. A 12 (1975), 186.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Кафаров В. В., Дорохов И. Н., Лиятов Л. Н. Системный анализ процессов
химической технологии. В 3-х кн. Кн. 3 - М.: Наука, 1982.
Азаров В. Л., Луничев Л. Н., Тавризов Г. Д. Математические методы
исследования физических систем. - М.: Наука, 1976.
Глава 5
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Системы с сосредоточенными параметрами, с которыми мы встречаемся в
технике и в естественных науках, чаще всего описываются системами
обыкновенных дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда
используются не только линейные аппроксимации рассматриваемых процессов,
эти системы оказываются нелинейными. В этой главе мы рассмотрим
совокупность численных алгоритмов и методов, которые позволяют
анализировать поведение систем нелинейных дифференциальных уравнений в
зависимости от изменений характерных параметров модели.
Вначале мы опишем методы отыскания стационарных решений (§ 5.1) и способы
построения соответствующих диаграмм решений (§ 5.2). Затем обсудим
исследование устойчивости этих стационарных решений (§ 5.3). В § 5.4
последовательно рассматриваются алгоритмы нахождения точек поворота и
точек ветвления, а также точек возникновения изол]). Далее в § 5.5
описываются методы нахождения точек комплексной бифуркации (бифуркации
Хопфа), когда возникают решения типа предельного цикла.
В § 5.6 исследуются проблемы построения полной бифуркационной диаграммы,
а следующий за ним параграф посвящен описанию наиболее употребительных
методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Некоторые новые численные подходы к построению зависимости
периодических решений от параметра рассмотрены в § 5.8. Далее в параграфе
5.9 приведены некоторые численные методы, используемые при изучении
неупорядоченного (хаотического) поведения решений обыкновенных
дифференциальных
*> См. определение в гл. 3.
5.1. Стационарные решения
129
уравнений. Системам, в которых параметры медленно меняются со временем,
посвящен § 5.10. Наконец, в § 5.11 описываются методы, используемые при
анализе неавтономных систем. Численные подходы иллюстрируются с помощью
задач 1 -10, формулировка которых приведена в гл. 4. Результаты
численного анализа представлены в тексте в виде графиков или таблиц. В
заключение в § 5.12 приведено несколько задач, которые могут быть
использованы для вычислительного практикума.
5.1. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
Динамическая модель с сосредоточенными параметрами может быть
представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dx.
==: /1 (*b •*'2> *¦ ¦ ¦ у Ctj, . . . j ctm), i 1, 2, . . . , ft.
(5.1.1}
Систему (5.1.1) можно записать также в векторной форме
-g- = f(x, а), (5.1.2)
где использованы обозначения X (Xj, Х2, . . ., Xrt), f (/j, /о" • • • > f
п)> (r) (t^l> • • • > &m)-
Здесь Xi - это переменные состояния, t - время, a a - вектор параметров
системы. В большинстве случаев мы будем рассматривать свойства системы в
зависимости от одного скалярного параметра (m = 1). Это означает, что
значения оставшихся параметров фиксированы и, следовательно, такие
параметры являются "составной частью" функции f. Кроме того, мы будем
считать систему автономной, т. е. будем считать, что время t не входит
явным образом в правые части уравнений (5.1.1). Неавтономным задачам
