Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 38

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 742 >> Следующая

отношение частот coq/Q является рациональным числом, т. е. имеет место
всюду плотная система резонансов. Но, как мы уже знаем, частота колебаний
является функцией их амплитуды. Резонансы же изменяют амплитуду, а
значит, и частоту колебаний, нарушая тем самым точное выполнение
резонансных условий. Таким образом, малые знаменатели, препятствующие
сходимости классических рядов в окрестности резонансов, отражают
определенное физическое явление, которое приводит к локальному изменению
характера фазовых траекторий.
*§ 2.2. Классическая теория возмущений
Большинство многомерных или подверженных внешним воздействиям
динамических систем являются неинтегрируемыми (см. § 1.3). Однако для тех
систем, которые близки к интегрируемым, можно
90
Глава 2
попытаться получить решение с желаемой точностью, если представить
производящую функцию в виде ряда по степеням малого параметра и затем
решать уравнение Гамильтона-Якоби последовательно в каждом порядке. Как
уже отмечалось, малые знаменатели препятствуют сходимости этих рядов. Тем
не менее полученные таким путем результаты можно использовать для вполне
удовлетворительного описания поведения системы в некоторых областях
фазового пространства. Более того, этот метод оказывается весьма полезным
при построении приближенных решений и для систем с одной степенью
свободы, когда явное интегрирование уравнений движения затруднительно, а
также для предварительного перехода к переменным действие - угол в
невозмущенных системах с несколькими степенями свободы.
* 2.2а. Одна степень свободы
Рассмотрим гамильтониан следующего вида:
Я = Я0 (/) + гНх (/, 0) + е 2Я2(7, 0)4- .... (2.2.1)
Здесь использованы переменные действие - угол для первого слагаемого Я0,
поэтому ему отвечает решение
J = J0, (2.2.2а)
0 = <о/ + р, (2.2.26)
со == dH0!dJ, (2.2.2в)
где Jo, (r)> Р - постоянные, не зависящие от t. Следуя Пуанкаре [337] и
Цейпелю [419], мы ищем преобразование ? таким новым
переменным J, 0, для которых новый гамильтониан Я есть функция
только переменной действия J. Используя производящую функцию S (7, 0),
представим S и Я в виде степенных рядов по е
S = 70 + eSn- . . . , (2.2.3)
77 = 7/0+8//!+ .... (2.2.4)
причем член низшего порядка в S выбран так, чтобы порождать тождественное
преобразование J = / и 0 = в. Старая переменная действия и новая угловая
переменная определяются из выражений (1.2.13а) и (1.2.136) соответственно
J = 7+ е dSj(/R-e)- -г , (2.2.5а)
сЮ
+ . . .. (2.2.56)
dJ
Для получения нового гамильтониана необходимо выразить старые переменные
через новые с помощью соотношений (2.2.5) и за
Каноническая теория возмущений
91
тем использовать формулу (1.2.1 Зв). В первом порядке по е это сделать
нетрудно
J - ~J-\-г dSl&.3. -у , . (2.2.6а)
56
9 = 0 - e-dSl^ §) - . . . . (2.2.66)
8J
Тогда из (1.2.13в) имеем
Я (7, 0) = Я(/(7, 0J, 017, 0)). (2.2.7)
Разлагая правую часть последнего равенства в степенной ряд по е и
используя (2.2.6), получаем
Яо(/(7,0)) = Яо(7) + е-^--%- + • ¦ . , (2.2.8а)
dJ 50
еЯ1(У(7, [0)7 0(7'[0)) = еЯ117, 0)+ . . .. (2.2.86)
Подстановка этих выражений в (2.2.7) позволяет найти члены нового
гамильтониана нулевого (Я0) и первого (Нг) порядков
Я0 = Я0(7), (2.2.9)
Н &mJ§l<Z±JL + Нг (7, В\ (2.2.10)
50
Так как мы ищем новый гамильтониан, который зависит только от переменной
действия J, то необходимо путем выбора функции S! в (2.2.10)
компенсировать зависящую от 0 часть Нг. Определим среднюю (Яа) и
переменную {Нчасти Нг посредством выражений
1 2л _
(Ях) = -J Я1(/, 0) d0, (2.2.11)
2я о
(Я1) = Я1-<Я1). (2.2.12)
Из равенства (2.2.10) находим два соотношения
#! = <#!>, (2.2.13)
со -^-=-{#].}. (2.2.14)
50
Объединяя (2.2.9) и (2.2.13), получаем преобразованный гамильтониан с
точностью до членов первого порядка
Я = tf0(/j + e<#,(/, 0)) (2.2.15)
92
Глава 2
с новой частотой со ¦- дН dJ. При этом предполагается, что
уравнение (2.2.14) можно разрешить относительно функции Sx, с по-
мощью которой исключается {Я^. Видно, что новый гамильтониан в первом
порядке получается путем усреднения старого гамильтониана по фазе.
Чтобы найти функцию Slt представим [Я^ и Sj в виде рядов Фурье
Я,; = 2 Н1п l7lein<\ (2.2.16а)
п =* О
У81п\1' е^. (2.2.166)
Из (2.2.14) немедленно следует, что S10 = const х), а
Sln=-пф 0. (2.2.17)
in со
Если со (J) ф 0, то ряд Фурье для сходится и позволяет выполнить
преобразование переменных (2.2.6).
Разложения высших порядков. Иногда необходимо провести разложения до
более высокого порядка по е либо из-за того, что поправки первого порядка
равны нулю, либо из-за желания повысить точность вычислений. Процедуру
Пуанкаре-Цейпеля можно выполнить в любом порядке по е, но распутывание
старых и новых п е ременных, ведущее от (2.2.5) к (2.2.8), требует
утомительных алгебраических выкладок. Если полного обращения переменных
не требуется, то вычисление нового гамильтониана, а следовательно, и
возмущенной частоты колебаний становится относительно простым.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed