Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 376

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 370 371 372 373 374 375 < 376 > 377 378 379 380 381 382 .. 742 >> Следующая

уравнений вида (4.1.6), а также уравнений
VCp -g- = FCp (Г0 - Г) + (- АН г) Vr (С[, ..., cs, Г) - SU{ (Г - Тс),
(4.1.21)
VcCpc = FcCpc (Тс0 - Тс) + SU, (Т - Тс). (4.1.22)
Из анализа вышеприведенных моделей видно, что характер модели и
размерность задачи в значительной степени определяются выбранными
предположениями.
4.1.2.3. Приведение модели к безразмерному виду
Существенным шагом в процессе преобразования модели является приведение
ее к безразмерному виду. При этом часто достигается уменьшение числа
параметров.
Проиллюстрируем этот подход на примере алгебраических уравнений (4.1.17),
(4.1.18), описывающих упрощенную модель стационарного режима работы
реактора. Предположим, что есть одна необратимая реакция п-го порядка
типа А->продукты реакции с соотношением для скорости реакции вида г = = k
• Са- Здесь константа скорости реакции k задается в форме Аррениуса, т.
е.
Мы получаем следующие два алгебраических уравнения для Сд и Г (учтя, что
Гд = F)
Гсдо - Fcx - k • c\-V = 0, (4.1.23)
FCB {To - Г) + (- AHT) Vkcl -US{T- Tc0) =0. (4.1.24)
4.1. Построение математических моделей
91
Укажем теперь некоторые возможности перевода модели в безразмерную форму.
Отнесем все величины (переменные и параметры) к соответствующим
характерным значениям. Прежде всего введем характерную температуру
[4.10]'
j _ ^0 + аТсо us
lm~ 1 + а ' ГДе FCp
В предельном случае адиабатического режима (U = 0) а = 0 и Тт = Т0.
Безразмерные концентрацию (и) и температуру (у) определим так:
y = i~- (4.1.25)
-СА0 1 ш
Введем безразмерные параметры: тепловыделение Р, число Дам-кёлера Da,
безразмерную э * ергию активации у.
о (-**,) "ло р 5а)
Р срТа(1+а)' 3 F RTm' (4Л2аа>
Уравнения баланса (4.1.23), (4.1.24) после перехода к переменным (4.1.25)
принимают вид
1 - и - Da ыгеехр[у (l-(4.1.26)
1 - у + Р Da и" ехр [у (1 -~)] = 0. (4.1.27)
Умножая уравнение (4.1.26) на р и складывая результат с уравнением
(4.1.27), нетрудно найти соотношение между безразмерной концентрацией и
температурой:
и = (1 + Р-0)/Р. (4-1.28)
При подстановке этого соотношения в уравнение (4.1.27) мы
получаем одно уравнение относительно безразмерной темпера-
туры у, описывающее установившийся режим работы реактора:
у- i^-Dafto), (4.1.29)
где
f(y) = ( 1 + Р - у)" ехр [у (1 - 1/у)].
Безразмерное уравнение (4.1.29) описывает также химические системы,
отличающиеся по физическим свойствам от рассматриваемой. Например,
уравнения баланса массы и энтальпии, описывающие необратимую реакцию n-го
порядка в частице пористого катализатора, в случае отсутствия
значительных
92
Глава 4
градиентов концентрации и температуры внутри частицы имеют вид
fccSx (ело - ск) - vpk (Т) ск = 0, (4.1.30)
hSx (То - Т) + (- АН г) Vpk (Т) & = 0. (4.1.31)
Здесь kc, h - коэффициенты массо- и теплоотдачи на внешней поверхности
частицы, 5Х - площадь внешней поверхности частицы, VP - объем частицы, а
с до и Т0 - концентрация и температура в ядре жидкости, обтекающей
частицу (т. е. в невозмущенной жидкости. - Перев.). Вводя определения
jferc,n (- АН ) vnk (ТЛ с?п
Р= cABL Da = Vl' . (4.1.32)
nt о х с АО
из соотношений (4.1.30) и (4.1.31) мы вновь получаем уравнение (4.1.29).
Здесь число Дамкёлера Da есть отношение прореагировавшего количества
вещества А (при Т = Тм и с - сдо) к максимально возможному потоку массы
этого вещества через поверхность.
Таким образом, одна безразмерная система уравнений описывает несколько
различных с физической точки зрения задач.
4.1.2.4. Анализ числа стационарных режимов (решений уравнения (4.1.29))
Рассмотрим сначала эндотермические реакции, для которых (-Д#г)<0, р С 0.
При этом левая часть уравнения (4.1.29) представляет собой монотонно
возрастающую, а правая часть - монотонно убывающую функцию у. Таким
образом, в данном случае может существовать не более одного стационарного
состояния для любых значений критерия Da.
Рассмотрим теперь экзотермическую реакцию (-АНТ > 0, Р >0). Перепишем
уравнение (4.1.29) в виде
F(y)=Y^T = -^r- (4.1.33)
Если предположить, что ые(0;1), то из формулы (4.1.28) следует, что
t/e(l;14-P). Если функция F(y) будет монотонно убывать на промежутке (1;
1+ Р). то при всех значениях Da будет существовать единственное решение.
Для реакции первого порядка это будет иметь место в случае, когда
VP<4(1 + P),
(4.1.34)
4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами
93
д для реакции произвольного положительного порядка (п > 0) при условии
Г(?/) = (л-1)(/3 + ?/2(Р + У+1 -")-^y(2+P) + y(1+P)>0. (4.1.35)
Рассмотрим теперь условия существования нескольких стационарных решений.
Если критерий однозначности (4.1.35) выполняется не для всех значений
числа Da, то функция F(y) при //e(l;l-f-|3) имеет локальный минимум и
максимум (см.
Рис. 4.2. Минимум и максимум функции F(y).
рис. 4.2). Таким образом, существуют три стационарных состояния для
значений числа Дамкёлера в диапазоне
1 F(u-x)
р(Утш) ^ 1 ^ F (Уг
р"-' Da р"-1 '
Например, для реакции первого порядка оказывается
Предыдущая << 1 .. 370 371 372 373 374 375 < 376 > 377 378 379 380 381 382 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed