Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
кривую, не имеющую самопересечений.. Такую компоненту множества S(f) мы
будем называть изолой. Изола состоит из двух (или более) ветвей,
разделенных точками поворота.
3.2. ВЕТВЛЕНИЕ В ТОЧКАХ БИФУРКАЦИИ. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим уравнение
Предположим также, что по крайней мере одна частная производная второго
порядка от функции / в точке (х*, а*) отлична от нуля.
Разложим функцию f с помощью формулы Тейлора в окрестности точки (х*,а*).
Учитывая, что /(х*, а*) = 0, а также соотношения (3.2.2), получаем
f (х, а) = [А (х - х*)2 + 2В{х - х*) (а - а*) +
v + С (а - а*)2] + о [(* - хУ + (а - а*)2] = 0, (3.2.3>
где
d2f (х*. а*) р d2f (х*. а*) r d2f (х*, а*) л дх2' дхда ' да2
Разделим соотношение (3.2.3) на (а - а*)2 или (х- х*)2' и осуществим
предельный переход (х, а)-"-(х', а*), (х, а) е
Иначе говоря, ветви - компоненты связности множества S(f)\o(j).- Прим.
ред.
f(x, а) = 0, хе R1.
Далее, пусть (х*, а') е S (/) (т. е. f (х*, а') = 0) и
(3.2.1)>
(3.2.2)*
3.2. Ветвление в точках бифуркации. Одномерный случай
77
ИЛИ
S(/), см. [3.1]. При этом мы получим уравнение
АШ'+2В%+с=0' <3-2-4"
а+2В%- + с(?У = 0. (3.2.5)
Здесь dx/da - угловой коэффициент касательной к дуге, проходящей через
точку (х*, а*), если мы рассматриваем х как функцию а, или же da/dx -
угловой коэффициент касательной, если мы считаем а функцией от х.
Л
V
Рис. 3.3. Поведение решений в окрестности критической точки.
Рассмотрим теперь уравнения (3.2.4) и (3.2.5).
Случай I. А фО. Тогда решение уравнения (3.2.4) имеет вид
( dx\ -В±л/В2~АС /о л с\
Ы!,2 = А • (3-2'6>
Обозначим D = В2 - АС. Если D < 0, то точка (х*,а*) является
изолированной точкой множества S(f) (из нее не выходит ни одна кривая).
Если же D > 0, то в этом случае уравнение
(3.2.4) имеет два вещественных решения - это означает, что в
окрестности точки (х*, а*) множество S (/) состоит из двух пересекающихся
дуг. Или: в точке (х*, а*) сходятся четыре ветви стационарных решений
(см. рис. 3.3а).
Случай II. А= 0, Сф 0. Тогда уравнение (3.2.5) имеет два решения
/ da \ . / da \ 2 В
И (d7)2 С~-
В этом случае множество S (/) в окрестности точки (х*, а*) также состоит
из двух пересекающихся дуг (рис. З.ЗЬ). Одна из них имеет в этой точке
вертикальную касательную: (х*, а*) - "точка поворота" для этой ветви.
Такой случай отвечает бифуркации типа "вилка" и обычно встречается в
системах, обладающих симметрией.
78
Глава 3
3.3. ВЕТВЛЕНИЕ В ТОЧКАХ БИФУРКАЦИИ. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
В этом параграфе мы вновь обратимся к анализу системы
(3.1.1), см. [3.2]. Пусть (х*, a')eS(f), т. е.
(3.3.1)
Введем обозначения
J =
J
f(x* °0 = 0.
dfi Ml dh ~
dxi ' dx2 dxn
df2 dh df2
dxi ' dx2 ¦ • • " dxn
dfn dfn dfn
dxt ' dx 2 • • • t dxn _
~ dh Ml dh_~
dxi ' ' dxn ' da
dh dh dh
dxi ' • • ' > dxn ' da
dfn dfn df"
_ dxi ' dxn ' da
(3.3.2)
(3.3.3)
При этом все частные производные в формулах (3.3.2) и (3.3.3) вычисляются
в точке (х*,а*).
Случай 1. DetJ^O. Если detJ^O, то к системе (3.1.1) можно применить
теорему о неявных функциях, согласно которой для всех а, взятых в
некоторой окрестности (У(а*), существует однозначная зависимость
причем
х = х (а), f(x(a), а) = О
для всех ае(/(а*). Таким образом, через точку (х*, а*) проходит только
одна ветвь решений системы (3.1.1).
Точку (х*, а*), для которой выполнено условие
det J О, (3.3.4)
мы будем называть регулярной точкой.
Случай II. Det J = 0 и ранг расширенной матрицы J равен п: rank(J) = n. В
этом случае, заменив один из столбцов матрицы J последним столбцом
матрицы J, можно добиться того, чтобы полученная матрица имела ранг п.
3.3. Ветвление в точках бифуркации. Многомерный случай
79
Для удобства записи предположим, что заменен первый столбец матрицы J
(этого всегда можно добиться с помощью подходящей нумерации столбцов),
причем полученная матрица
Г dfi dfi dfi "I
да ' дх2 ' dxn
dfn dfn dfn
. да ' дх2 ' •' dxn J
(3.3.5)
имеет ранг п, т. е. detJa=^0.
Тогда, аналогично случаю I, к системе (3.1.1) можно вновь применить
теорему о неявных функциях, с той лишь разницей, что роль а играет теперь
переменная хх. Таким образом, можно утверждать, что существуют функции
х;- = x/(xi), /' = 2, ..., п, и а = а(х\), определенные в некоторой
окрестности U (**),
такие, что
xj (ХТ) = х*г j = 2, • • •, п, а (х*) = а*, f(xb x2(x,), ..., хп(хх),
а(*,)) = О
для всех х
Можно показать, что
¦?г")=°- (3-3-6)
Тогда, если d2ajdxj < О, функция а{хх) имеет в точке х\ максимум - это
означает, что при a > а* пара стационарных решений исчезает. Если же
d2a/dx2 > 0, то функция а{хх) в точке х* имеет минимум и, значит, при a >
а* возникает пара стационарных решений. Такую точку (х*,а*) мы будем
называть точкой поворота.
Если ранг матрицы J(x*, а*) меньше п, то точку (х*, а*) называют
сингулярной точкой множества S(f).
Случай III. rank(J(x*, а*)) = п-1.
Предположим, что rank(J) - п - 1 (этим случаем мы и ограничимся). Тогда
из матрицы J можно выбрать матрицу J; порядка п-1, определитель которой
