Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Preprint University of California, Santa Cruz, 1979.
[2.i3] Collet P., Eckman J. P.: Iterated Maps on the Interval as
DynamicaL Systems. Birkhauser, Boston, 1980.
Nagy J.: Vybranfe partie z moderni matematiky. SNTL, Praha, 1976. Спивак
М. Математический анализ на многообразиях. - М.: Мир,. 1968.
[2.46] Nagy J.: Stabilita feSenl oby?ejnych differencialnfch rovnic
SNTL,. Praha, 1980.
[2.47] Шильников Л. П. Математический сборник, т. 81(123), № 1, с. 92.
Глава 3
ВЕТВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ НА ДИАГРАММЕ РЕШЕНИЙ
В предыдущей главе мы сделали попытку познакомить читателя с основными
понятиями теории динамических систем, -а также со связанными с ними
явлениями бифуркаций.
В этой главе мы рассмотрим методы, позволяющие исследовать поведение
стационарных решений систем дифференциальных уравнений в зависимости от
параметра в окрестности точек ветвления. Такого рода анализ тесно связан
с построением так называемой диаграммы решений, которое приходится
проводить численно. При этом сами численные алгоритмы рассматриваются в
гл. 5. 171
3.1. ДИАГРАММА СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
Анализ стационарных решений (состояний равновесия) однопараметрических
семейств дифференциальных уравнений приводит к необходимости исследования
множества решений следующей системы:
fi {хи х2, ..., хп, а) = О,
А> (^Ь *^2> ¦ • • > ^п, ~ ^ j
f*i{xЬ *^2> • • •> О*
В дальнейшем мы будем предполагать, что функции f<(xi, ... ..., хп, а),
1=1, 2, ..., л, достаточно гладкие, а - вещественный параметр, а х\, х2,
..., хп - неизвестные. Систему (3.1.1) ¦можно кратко записать в виде
f(x, а) = О, xeR", as R1.
(3.1.2)
74
Глава 3
Множество всех решений системы (3.1.1) обозначим S (f):
S(f) = {(x,a)eR"XR', f(x,a) = 0}. (3.1.3>
Множество S(f) обычно представляет собой объединение нескольких кривых в
Rn+1, хотя может включать в себя и отдельные изолированные точки (рис.
3.1).
При п > 1 множество S (f) удобно изображать на двумерной плоскости. Такое
двумерное представление множества S(f) мы будем называть диаграммой
стационарных решений. При этом мы обыкновенно проектируем множество S(f)
на выбранную*
плоскость Xi - а. При проектировании может оказаться, что на двумерной
картинке имеет место пересечение кривых, хотя на? самом деле в R"+1 эти
кривые не пересекаются.
Точки фактического и кажущегося пересечения кривых из= S (f) на диаграмме
решений мы можем различать способом, показанным на рис. 3.2а, Ъ. В
дальнейшем последовательных различий между множеством S (f) и диаграммой
стационарных решений проводиться не будет; из контекста всегда будет
ясно, какой из этих объектов имеется в виду.
Дадим теперь формальную классификацию точек множества S (f), начав со
случая л = 1. В этом случае множество решений S (f) можно изобразить на
плоскости х - а (рис. 3.1).
1. Предположим, что (х0, a0) <= S (/) и пусть
-0j(*o> °о) ^ 0- (3.1.4)
3.1. Диаграмма стационарных решений
75
Тогда согласно теореме о неявных функциях существуют е > О и единственная
функция g(a) (g(ao) = *o), такая что f(?(a)>a) = 0 для всех as(ao - е, ao
+ е). При этом множество S (/) в окрестности точки (хо, ао) задается
графиком функции g.
Точку (х0, Оо)еЗ(И,для которой выполнено условие (3.1.4), мы называем
регулярной точкой. Как видно из рисунка, "боль-.¦шинство" точек кривой
принадлежат именно к этому типу.
Рис. 3.2. Точки пересечения на диаграмме решений.
2. Пусть теперь в точке (х0, ао) е S (f)
jt(x0, a0) = 0. (3.1.5)
В данном случае мы не можем воспользоваться теоремой о неявных функциях.
Однако если
-^(х0,ао)ФО, (3.1.6)
то, поменяв х и а местами, можно построить в окрестности точки (л'о, ао)
функциональную зависимость a = a(x), ao = = a0(xo). Из соотношения
(3.1.5) следует, что а'(х0) = 0. На рис. 3.1 такой точкой является точка
В.
Точку (х0, a0) е S (/), в которой одновременно выполняются условия
(3.1.5) и (3.1.6), а производная da/dx меняет знак1*, мы называем
(простой) точкой поворота. 181
При переходе а через значение ао происходит бифуркация: появляется или
исчезает пара решений. Значение ао мы называем бифуркационным значением
параметра.
3. Если в точке (х0, a0) е S (/)
-§t-(x0, а0) =(% "о) = 0, (3.1.7)
то точка (л'о, ао) называется сингулярной точкой множества S (/).
Обозначим через o(f) множество всех точек поворота и
11 Чтобы производная а'(х) меняла знак в этой точке, достаточно
выполнения условия (д2}/дх2)(х0,а0)ФО.
76
Глава 3
сингулярных точек множества S (/). Точки множества a(f) мы? называем
критическими точками S(/). Критические точки разбивают множество S (/) на
ветви стационарных решений1''. Каждая ветвь состоит из регулярных точек и
определяет однозначную зависимость х(а).
Во всякой точке поворота заканчиваются две ветви решения.. В особой точке
могут оканчиваться несколько ветвей (в точке С-на рис. 3.1 -четыре).
Замечание. Множество S(/) в общем случае состоит из нескольких "кусков" -
компонент связности (на рис. 3.1 их три)..
Может случиться, что какая-либо компонента & представляет собой замкнутую
