Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 37

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 742 >> Следующая

отличной от частоты малых колебаний со0.
Каноническая теория возмущений
87
Дополнительная свобода, возникающая вследствие разложения to, позволяет
исключать секулярность в каждом порядке по е, чем и достигается
равномерная сходимость решения. Каноническая форма метода Линдштедта,
представленная в п. 2.2а, была разработана Пуанкаре [337] и Цейпелем
[419].
2.16. Асимптотические ряды и малые знаменатели
Рассмотрим колебания гармонического осциллятора с медленно изменяющейся
возвращающей силой (или частотой). Эта задача существенно отличается от
предыдущей наличием явной зависимости от времени, так что фактически мы
имеем дело с двумя степенями свободы. Запишем уравнение движения такого
осциллятора (рис. 2.1, б) в виде ;.,
где малый безразмерный параметр е введен опять-таки для явного выделения
возмущения и по окончании вычислений полагается равным единице. Истинным
малым параметром разложения в рассматриваемом случае является отношение
периода колебаний к характерному временному масштабу изменения
возвращающей силы
Ниже используется разложение не непосредственно для х, а для некоторой
вспомогательной переменной у, скорость изменения членов разложения
которой тем меньше, чем выше их порядок. Прежде всего, переходя к новой
независимой переменной т = е/, запишем уравнение (2.1.16) в виде
Введем теперь новую переменную у посредством равенства
Подстановка последних соотношений в уравнение (2.1.18) приводит к
уравнению Риккати
ху-со2(е/;)х = 0,
(2.1.16)
(2.1.18)
х = ехр [J ydт].
Обозначая йх!с1т как х', находим
х' = ух, х" = у2х - у'х.
(2.1.19)
е2 (г/2+ </') +со2 = 0. Представим у в виде степенного ряда
У = Е_1*/оУх ~г гУч + •
(2.1.21)
(2.1.20)
88
Глава 2
и подставим это разложение в (2.1.20). В низшем порядке по е находим
Уо~ ± ш,
а в следующем порядке
2г/0г/1 + г/о = 0. (2.1.22)
Использование (2.1.21) и (2.1.22) совместно с (2.1.19) дает
= ехр
(е_1г/0 )dx
2 Уо
Интегрируя второе слагаемое и учитывая равенство у0 = + iw, получаем
х =---exp [± i I cod/]. (2.1.23)
со12
Рассмотрим медленное изменение частоты от значения coj при t<Zt 1 до
значения со2 при t>t2 и вычислим интеграл действия
J=-l-(?pdx (2.1.24)
2л Д
в каждой из этих двух областей (t<it1 и /2>/2), где со по предположению
не изменяется.
Полагая р - тх и переходя в (2.1.23) к действительному решению
х = А со-12 cos (соt -f 6),
находим, что J = (1/2) тА- в обеих областях, несмотря на то что как
частота со, так и энергия Е = (1/2) тх"акс = могли измениться сколь
угодно сильно. Действие J является, таким образом, адиабатическим
инвариантом движения, т. е. сохраняется в пределах точности
используемых разложений, полученных в предпо-
ложении медленности изменения параметров. Существование инварианта
позволяет легко получить решение, хотя гамильтониан и не сохраняется.
Вычисление действия в области t1<.t<zt2, где происходит медленное
изменение параметров, приводит к тому же результату. Более того,
описанное разложение можно выполнить во всех порядках по малому
параметру. Это было сделано Кулерудом [244] для линейного осциллятора и
затем обобщено Крускалом [2391 и другими (см. [265] и § 2.3) на более
сложные системы. Подчеркнем еще раз существенное отличие этого разложения
от разложения, описанного в п. 2.1а. Наличие явной зависимости от времени
эквивалентно движению с двумя степенями свободы. При этом решения в виде
рядов, как правило, не сходятся к точным решениям, а оказываются
асимптотическими. Это понятие будет подробно рассмотрено в начале § 2.3.
Каноническая теория возмущений
89
2.1 в. Влияние резонансов
Если рассмотренный в п. 2.1а осциллятор подвергается периодическому во
времени внешнему возмущению или если медленные изменения параметров
осциллятора, описанные в п. 2.16, являются периодическими, то резонансы
между колебаниями осциллятора и внешним возмущением разрушают сходимость
разложений и изменяют или разрушают интегралы движения. Проиллюстрируем
возникающие при этом трудности на простом примере.
Рассмотрим вынужденные колебания линейного осциллятора
x+coox = g(0, (2.1.25)
где внешняя сила g (t) является периодической функцией времени с периодом
2л/й. Решение однородного уравнения (2.1.25) есть
xh - A coscD(/ + -6sinu>(/. (2.1.26)
Представим внешнюю силу g (t) в виде ряда Фурье
Ос
g(t)~---f- X (ancosnQt-{- bn sinnQ/) (2.1.27)
2 n=1
и подставим это выражение в уравнение (2.1.25). Разлагая частное решение
хр (t) в ряд Фурье, для п-го члена получаем
ап cos п Qt + fr" sin nQt /Г) . ооч
-V='---------------------------------------(2.1.28)
со q - n Or
Видно, что при cog " n2Q2 имеет место резонанс, приводящий к раскачке
колебаний. Наш пример иллюстрируется на рис. 2.1, в, на котором показан
ребенок, раскачивающий качели.
Если осциллятор нелинейный, как, например, рассмотренный в п. 2.1а, то в
однородном решении присутствуют все гармоники с частотами, кратными
основной частоте со0. В этом случае резонансы возникают всякий раз, когда
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed