Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения (2.6.6) является линейным и можно непосредственно найти его
собственные числа. Напомним, что число является собственным числом
линейного оператора F, если существует не равная нулю функция и е D", для
которой выполняется соотношение F(и) = Хи, т. е. функция u(z)
представляет собой решение обыкновенного дифференциального уравнения
и" - Я" = 0 (2.6.10)
с граничными условиями вида
ц(0) = ц(я) = 0.
Оператор F имеет в данном случае только вещественные собственные числа.
При Я^О решение уравнения (2.6.10) записывается в виде
и (г) = схе^г + с2е-V^, сь с2 е R.
п После уточнения смысла предельного перехода в (2.6.9) (введения нор-йы
или расстояния в пространство Dq ) сказанное близко к определению
асимптотической устойчивости (см.,' например, [2.8]). - Прим. ред.
2.6. Дифференциальные уравнения с частными производными 67
Поскольку должны выполняться условия ы(0) = ы(я) = 0, то С\ = с2 = 0 и,
следовательно, функция тождественно равна нулю. Таким образом, оператор
F(и) = d2u/dz2 на пространстве Do не имеет неотрицательных собственных
чисел.
При А < 0 решением уравнения (2.6.10) является функция
и (z) - С] cos Vl A* Iz + с2 sin Vl ^ Iz-
Из условий ы(0) = ы(я) = 0 следует, что -у | А | - к, т. е. что значения
K = -k\ k=\, 2, ...
суть собственные числа нашего оператора.
Итак, все собственные числа располагаются слева от мнимой оси, и,
следовательно, стационарное решение u(z) = 0 уравнения (2.6.6) устойчиво.
2.6.3. Периодические решения уравнения (2.6.1).
Бифуркация Андронова - Хопфа для уравнений с частными производными
Решение u(z,t) уравнения с частными производными (2.6.1), удовлетворяющее
условию
u(z, t + T) = u(z, t) (2.6.11)
при любом t^. 0 и ze[0, L), мы называем периодическим; число Т > 0 есть
период этого решения. Периодическому решению уравнения (2.6.1) отвечает
замкнутая траектория уравнения (2.6.3) в фазовом пространстве Do (см. п.
2.6.1).
Положения равновесия уравнения (2.6.3) могут претерпевать бифуркации
точно так же, как и положения равновесия обыкновенных дифференциальных
уравнений. В частности, в случае бифуркации Андронова-Хопфа от положения
равновесия уравнения (2.6.3) ответвляется замкнутая траектория; это
означает, что от стационарного решения уравнения (2.6.1) ответвляется
периодическое решение этого уравнения. Условия возникновения бифуркации
Андронова - Хопфа для уравнений с частными производными аналогичны
соответствующим условиям для ОДУ (см. § 2.3).
Рассмотрим однопараметрическое уравнение типа (2.6.3), которое мы запишем
в виде
du* г,, t ч
чг=г(и> ")¦
5*
68
Глава 2
Если взаимно сопряженные комплексные собственные числа оператора IJ A =
dF(uo, а) пересекают мнимую ось в точках ±"а, то в этом случае от
стационарного решения и0 соответствующего уравнения с частными
производными ответвляется периодическое решение, причем период этого
решения асимптотически (при приближении а к критическому значению а*)
равен Т - 2я/ю.
2.6.4. Волновые решения уравнений с частными производными
Попытаемся выяснить принципиальные особенности волновых решений на том же
примере одного дифференциального уравнения
+ (2.6.12)
без граничных условий (рассматривая его при t^O и ге Решение и (z, t)
будем искать в виде
и (z, t)=q>(z - ct) = <p{l). (2.6.13
Подставляя выражение (2.6.13) в уравнение (2.6.12), мы получаем для ф(|)
обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка
-Сф' = Екр" + f (Ф), ' = . (2.6.14)
Перепишем уравнение (2.6.14) в виде системы двух уравнений, положив Х\ -
ф, Х2 = ф':
X, = Xg,
(2.6.15)
ХЧ ~D Х2 f (^l)1
Фазовым пространством системы (2.6.15) является плоскость хи х2.
и Здесь dv'ldt - kv'- линеаризованное уравнение.
2.6. Дифференциальные уравнения с частными производными 69
А) Волновое решение типа импульса
Предположим, что система (2.6.15) при некотором значении параметра с
обладает гомоклинической траекторией, "выходящей" из точки (0, 0) (рис.
2.39)
Рис. 2.39. Гомоклиническая траектория системы (2.6.15).
Решение x(?) = (xi(?), *гШ)> соответствующее этой траек-¦тории,
удовлетворяет условию
lim х(|) = 0. (2.6.16)
|-"±оо
График функции Xi(|) = (p(g) представлен на рис. 2.40. График -функции
u(z,t) - q>{i) = y(z - ct) как функции переменной z
Рис. 2.40. Решение *i(?), соответствующее гомоклинической траектории.
перемещается со скоростью с вдоль оси z, причем при с > 0 он движется
вправо, а при с < 0 влево (рис. 2.41). Решение уравнения с частными
производными (2.6.12) с таким поведением называется волновым решением
типа импульса, или бегущей волной типа импульса.
4) Для этого необходимо, чтобы точка (0, 0) была положением равновесия,
т. е. чтобы /(0)=0. Для исходного уравнения (2.6.12) это означает:
,u(z,t)= 0 есть решение. Точка (0,0) для системы (2.6.15) будет
(невырожденным) седлом, если f'(0)< 0. Для исходного уравнения (2.6.12)
это означает: "состояние покоя" устойчиво. - Прим. ред.
70
Глава 2
В) Волновое решение типа фронта
Если система (2.6.15) при некотором с обладает гетерокли-нической
