Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 363

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 357 358 359 360 361 362 < 363 > 364 365 366 367 368 369 .. 742 >> Следующая

*> В частности, предполагалось, что изучаемая траектория у пересекает
2 только в одной точке. - Прим. ред.
2.3. Бифуркации периодических решений
47
устойчивости решений, и в частности, орбитальной устойчивости
периодических решений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
х = f (х), xeR" (2.3.3)
и пусть <рх(0-ее фазовый поток. Пусть х(/) = <рХо(0- решение уравнения
(2.3.3), а у(х0)-траектория этого решения. Прежде чем давать определения,
введем некоторые обозначения.
Рис. 2.29. а) Орбитальная устойчивость. Ь) Асимптотическая орбитальная
устойчивость.
Расстояние между точками х, yeR" будем обозначать р (х, у). Если McR"-
некоторое подмножество и а е Rn, то расстояние точки а от множества М
определяется формулой
Р (а, М)= inf р(а, х).
Решение х (t) = q>Xa (/) системы (2.3.3) мы называем орби-тально
устойчивым, если для всякого е > 0 существует б > О, такое что верно
следующее утверждение: если р (у (х0), у0) < б,
48
Глава 2
то p(v(x0), q>yo(0)<e при всех t > 0. Или, более наглядно: траектории,
которые начинаются вблизи траектории не слишком отдаляются от нее при
любых t > 0 (см. рис. 2.29а).
Решение Ф*о(0 называется асимптотически орбитально устойчивым, если оно
орбитально устойчиво и, кроме того, выполняется соотношение
lim p(v(x0), <Py"(0) = 0.
<-*+оо
Мы будем говорить также об орбитальной устойчивости траекторий.
Итак, если решение <рХо (t) асимптотически орбитально устойчиво, то
всякая траектория системы (2.3.3), начальная точка которой лежит
достаточно близко к траектории у(хо). неограниченно приближается к этой
траектории при f-v-f-oo (см. рис. 2.29Ь).
Замечание. Замкнутую асимптотически орбитально устойчивую траекторию мы
называем устойчивым предельным циклом.
2.3.4. Элементы теории Флоке
Напомним теперь некоторые факты, касающиеся линейных неавтономных систем
с периодической правой частью (с периодическими коэффициентами).
Итак, рассмотрим систему
х = А(*)х, xgR", (2.3.4)
где матрица А(^) есть непрерывная периодическая функция переменной t, т.
е. для нее выполнено соотношение
\(t + T) = \(t), (2.3.5)
где Т > 0 - период.
По определению регулярная (невырожденная) матрица U (0 представляет собой
фундаментальную матрицу системы дифференциальных уравнений (2.3.4), если
выполнено условие
U (/) = А (0 U (/).
В дальнейшем мы будем рассматривать только стандартные фундаментальные
матрицы, для которых U (0) = 1.
Теорема Флоке утверждает следующее.
Стандартная фундаментальная матрица системы (2.3.4) имеет вид
U(0 = P(0^R, (2.3.6)
2.3. Бифуркации периодических решений
49
где R - постоянная матрица и Р(/)-регулярная периодическая матрица с
периодом Т, для которой выполняется условие Р(0) = I, и следовательно,
Р(kT) = I при 4eZ.
С помощью фундаментальной матрицы (2.3.6) общее решение системы (2.3.4)
можно представить в виде
ф {t, х) = Р (0 e*R • х, (2.3.7)
где, очевидно,
ф(0, х) = х.
Матрица
U (Г) = Р (Т) erR = erR (2.3.8)
называется матрицей монодромии. Собственные числа матрицы монодромии
называются мультипликаторами системы (2.3.4).
Если система x = A(i)x имеет периодическое решение ф (t, хо) с периодом
Т, то
ф(7\ х0) = х0, т. е. U (Т) х0 = х0. (2.3.9)
Из формулы (2.3.9) вытекает, что матрица монодромии имеет в этом случае
собственное число, равное+1.
Система (2.3.4) обладает периодическим решением с периодом Т в том (и
только в том) случае, если матрица монодромии имеет собственное число,
равное + 1.
Обратимся теперь к вопросу об устойчивости нулевого решения системы
(2.3.4). Критерий его устойчивости формулируется с помощью
мультипликаторов.
Критерий устойчивости нулевого решения
Пусть pi, р2, ..., рп-мультипликаторы системы (2.3.4). Если |р<1^1, i=l,
2, ..., п, то нулевое решение системы
(2.3.4) является устойчивым по Ляпунову!). Если же |р,|<1, i - 1, 2,
..., п, то нулевое решение данной системы является асимптотически
устойчивым, т. е. для любого решения х(/) имеет место соотношение
lim х (t) = 0.
00
2.3.5. Уравнения в вариациях
Рассмотрим снова автономную систему
х = f (х), xgR". (2.3.10)
!) Это верно, если среди чисел р, нет совпадающих. - Прим. ред.
4 М. Холодниок и др.
50
Глава 2
Пусть p(Oi_ решение уравнения (2.3.10), т. е.
p(t)=i (р (t)).
Обозначим через x(t) близкое к р(1) решение уравнения
(2.3.10). Положим х (/) = р (t) + z (t) и напишем
z(0-f(p(/) + zW)-f(p(0). (2.3.11)
Оставив в правой части (2.3.11) лишь первый (линейный) член формулы
Тейлора, мы получаем для функции z(t) дифференциальное (неавтономное)
уравнение вида
z(0 = -|r(P(0)-z(0. (2.3.12)
Это уравнение называется уравнением в вариациях для решения р(^) системы
(2.3.10) или линеаризацией системы (2.3.10) на решении р(^).
Замечание. Если p(f) является стационарным решением (т. е. его траектория
ур = {х0} представляет собой положение равновесия), то уравнение в
вариациях имеет вид
z (0 = -^ (*о) -z(0,
т. е. представляет собой систему с постоянными коэффициентами.
Важным для нас является случай, когда р(^) есть периодическое решение
Предыдущая << 1 .. 357 358 359 360 361 362 < 363 > 364 365 366 367 368 369 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed