Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 362

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 356 357 358 359 360 361 < 362 > 363 364 365 366 367 368 .. 742 >> Следующая

Пусть у - замкнутая траектория системы
x = f(x), xe=Rn. (2.3.2)
Выберем точку XoGy и проведем через нее сечение, представляющее собой
достаточно малую часть гиперплоскости, которая
трансверсально (под ненулевым углом) пересекает траекторию у в точке Хо
(см. рис. 2.26).
Траектории системы (2.3.2), близкие к замкнутой траектории у, задают
отображение Р сечения Е на себя следующим образом. Возьмем точку xeS.
Через эту точку проходит траектория у(х). Обозначим через Р(х) первую
точку пересечения траектории у(х) с сечением Е, которая следует после х.
Тем самым мы определили отображение
Р:Е-*Е,
которое называется отображением Пуанкаре, соответствующим замкнутой
траектории у.
44
Глава 2
Свойства введенного таким способом отображения Р качественно определяют
поведение траектории системы (2.3.2) вблизи замкнутой траектории у. В
частности:
1) Пусть точка х0 является неподвижной точкой отображения Р, т. е. Р(х0)
= х0. Тогда траектория у(х0) замкнута. Итак: неподвижным точкам
отображения Р соответствуют замкнутые траектории системы (2.3.2) (лежащие
вблизи траектории у).
2) Пусть xigE. С помощью отображения Р определим последовательность точек
{хЛГ=ь XjgJ] следующим образом:
x2 = P(xl), x3 = P(x2) = P(P(xI)) = P2(x1), xft+1=Pft(x,),
где символом Рк{х) обозначается k-я итерация отображения Р, т.. е.
Рк = р о р о ... о р. k раз
Если теперь для всякой точки хе2, достаточно близкой к неподвижной точке
х0, имеет место формула
lim Рк (х) = lim xft+1 = x0,
k~*oo k~*oo
то x0 есть устойчивая неподвижная точка отображения Р, а замкнутая
траектория у, которая соответствует точке хо, является устойчивой
траекторией. (Это утверждение нуждается в некоторых уточнениях. - Ред.)
Устойчивость неподвижной точки х0 отображения Р определяется собственными
числами матрицы Якоби Р'^о)11, если абсолютные значения всех собственных
чисел этой матрицы меньше 1, то х0 - устойчивая неподвижная точка. При
этом собственные числа оказываются равными мультипликаторам
соответствующего периодического решения (см. п. 2.3.5).
3) Пусть существует точка yi е 2, такая что
Р(Ух) = У2 и Р (у2) = у,
и, следовательно,
^2(yi) = yi и Р2( у2) = у2.
Тогда траектория у -у{у\) замыкается лишь после двух "обходов" вокруг у
(см. рис. 2.27).
Итак, неподвижным точкам второй (&-й) итерации отображения Пуанкаре
соответствуют замкнутые траектории системы
(2.3.2), которые замыкаются после двух (соответственно, после k) обходов
вокруг траектории у-
*> Матрица возникает после выбора на 2 некоторых координат. Ее
собственные числа, конечно, не зависят от этого выбора. - Прим. ред.
2.3. Бифуркации периодических решений
45
4) Если вокруг замкнутой траектории у существует инвариантный тор (см.
рис. 2.28), то сечение 2 пересекает этот тор по некоторой замкнутой
кривой - "окружности" К. Эта кривая К переводится в себя отображением
Пуанкаре Р: для всякой точки хе/С мы имеем Р(х)е/С, или же Р(К) = К.
Итак, инвариантной "окружности" отображения Пуанкаре соответствует
инвариантный тор системы (2.3.2).
С помощью отображения Пуанкаре проблему бифуркации замкнутой траектории
системы можно свести к проблеме бифуркации неподвижной точки этого
отображения.
Сравнивая п.п. 2.3.1 и 2.3.2, получаем:
1. Рождению или исчезновению пары замкнутых траекторий соответствует
рождение или исчезновение пары неподвижных точек отображения Пуанкаре.
2. Бифуркации удвоения периода соответствует бифуркация неподвижной точки
х0 отображения Р, при которой от Хо ответвляется пара неподвижных точек
уь у2 второй итерации отображения Р. Заметим, что Хо - также неподвижная
точка отображения Р2.
3. Возникновению инвариантного тора Т2 около замкнутой траектории у
соответствует бифуркация неподвижной точки хо отображения Р, при которой
от точки х0 ответвляется инвариантная "окружность" (замкнутая
инвариантная кривая) отображения Р.
4. Бифуркации с потерей симметрии соответствует бифуркация неподвижной
точки отображения Пуанкаре, при которой от этой точки ответвляются две
другие неподвижные точки отображения Пуанкаре.
46
Глава 2
Замечание. До сих пор мы определили отображение Пуанкаре на сечении 2,
которое было достаточно мало *>, т. е. мы рассматривали траектории
системы, близкие к исследуемой замкнутой траектории. Отображение Пуанкаре
можно строить
и в более общей ситуации, когда исследуется глобальное поведение системы.
В этом случае в качестве сечения 2 мы выбираем обычно всю гиперплоскость
или ее часть, находящуюся в изучаемой области фазового пространства (см.
п. 5.9.2).
2.3.3. Орбитальная устойчивость решения
Понятие устойчивости решения имеет в теории бифуркаций основополагающее
значение. Существует множество разных определений устойчивости, наиболее
известными среди которых являются устойчивость по Ляпунову и орбитальная
устойчивость. Для стационарных решений устойчивость по Ляпунову и
орбитальная устойчивость означают одно и то же. Для нас важно более
подробно познакомиться с понятием орбитальной
Предыдущая << 1 .. 356 357 358 359 360 361 < 362 > 363 364 365 366 367 368 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed