Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
84
Глава 2
чения хаотического движения. Ее детальному рассмотрению посвящены п. 2.4а
и б. В качестве примера подробно исследуется движение в магнитном поле
заряженной частицы, взаимодействующей с электростатической волной (см. п.
2.4в). Предложенное в работе [111] обобщение этого метода, позволяющее
одновременно избавляться от малых знаменателей целой группы резонансов,
описано в п. 2.4г.
Для простоты изложения все методы рассматриваются лишь в первом порядке
по е, а канонические преобразования выполняются с помощью зависящей от
смешанного набора переменных производящей функции. Эти методы можно
перенести и на более высокие порядки [34], но последовательное
распутывание старых и новых переменных становится алгебраически сложным,
а соответствующие ряды оказываются громоздкими. Однако высшие приближения
часто необходимы, как, например, в задаче Хенона и Хейлеса, где первый
порядок теории возмущений дает неверный результат даже в предельном
случае очень низкой энергии. В § 2.5 мы знакомим читателя с теорией
преобразований Ли, которая пришла на смену старым способам получения
классических рядов в высоких порядках по е. Методы Ли иллюстрируются на
примерах задач с одной степенью свободы и вычисления адиабатических
инвариантов высших порядков.
В § 2.6 рассматриваются сверхсходящиеся ряды и проводится сопоставление
их с классическими рядами (п. 2.6а). Специальное применение этих методов
к вычислению периодических траекторий в нелинейных системах описано в п.
2.66.
2.1а. Степенные ряды
Проиллюстрируем использование степенных рядов на примере интегрируемого
слабо нелинейного осциллятора с одной степенью свободы. Это может быть
показанный на рис. 2.1, а маятник, колеблющийся с небольшой амплитудой и
описываемый гамильтонианом (1.3.6). Разлагая первое из уравнений (1.3.5)
до третьего порядка по ф, запишем дифференциальное уравнение движения в
виде
х-ф(0ох= -- есосх3, (2.1.1)
6
где х = ф - угол отклонения от вертикали, со0 =
(FG)12 - частота малых колебаний, е - малый безразмерный параметр,
вве-
денный в кубический член, чтобы явно выделить его как возмущение; в конце
вычислений мы положим в = 1 *).
Если представить х в виде ряда
х = х0 -j- гх± -f ~г • . . (2.1.2)
') Это справедливо, конечно, только при условии, что в системе остается
другой (неявный) малый параметр, например амплитуда колебаний в
рассматриваемом случае.- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
85
и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях е, то в нулевом порядке
получим уравнение гармонического осциллятора
х0 = Л cos со0/. (2.1.3)
Уравнение движения в первом порядке по е имеет вид
х± -f- = --- (ОоА^ cos3 (Hot. (2.1.4)
6
Представляя cos3co0/ в этом уравнении в виде суммы двух членов
cos 3 co01 = (cos Зсо0/ -f 3 cos (о0/),
4
I
<. \-
Рис. 2.1. Нелинейные колебания.
а - маятник; б - адиабатическое возмущение; в - пример резонанса.
находим, что первый из них дает "хорошее" частное решение
х1а= -cos3(o0/, (2.1.5)
192 v 7
в то время как второй оказывается резонансным и ему отвечает частное
решение
А3
х1ь =------(со0/ sin со0/ -f 2 cos co0/). (2.1.6)
16
Видно, что первое слагаемое растет линейно со временем - это и есть
секулярный член. В рассматриваемом случае секулярность возникает
вследствие выбора неподходящего разложения, при котором не принимается во
внимание зависимость частоты колебаний от их амплитуды.
Корректный подход, разработанный Линдштедтом [278], состоит в
одновременном разложении по степеням е как амплитуды, так и частоты
колебаний. Предположим, что х = х (со/) является
86
Глава 2
периодической функцией со/ с периодом 2я, и разложим х и со по степеням
е, так что наряду с (2.1.2) имеем
со = со0 - ecox -j- е2со2+ .... (2.1.7)
Подстановка этих разложений в уравнение (2.1.1) дает
( СОо " г 28COQCOJ -j- . . . ) I Хо -р 4- . . . ) -р
-fco? (х0+eXi -i- . . .) ^ecootxo-pEXi-r . . . )3 = 0,
(2.1.8)
где штрихи означают производные по аргументу со /. В нулевом порядке
имеем
х0^хо = О, (2.1.9)
и решение х0 - A cos со/. Уравнение первого порядка
х\ -f 2 --1 х0 Хх - Хо = 0 (2.1.10)
"о 6
после подстановки в него выражения для х0 приобретает вид
Xi ха = 2 A cos со/ -j - A3 coscat -f --- A3 cos Зсо/.
Gig 8 24
(2.1.11)
Условие периодичности x (со/) требует, чтобы коэффициент при cos со/
равнялся нулю, так как в противном случае возникают секулярные члены.
Следовательно, мы выбираем величину сох так, чтобы исключить секулярность
"!= Л2со0, (2.1.12)
16
и получаем характерное для маятника уменьшение частоты колебаний с
возрастанием амплитуды. При таком выборе сох решение уравнения (2.1.11)
есть
дз
хх = Ах cos со/ -р Вх sin со/ cos3co/. (2.1.13)
В частности, для начальных условий
Xi(0) = Xi(0) = 0 (2.1.14)
получаем выражение
xL = - ^ • (cos со/-cos3co/), (2.1.15)
которое описывает изменение х (со/), вызванное нелинейностью.
Рассмотренную процедуру можно выполнить и в более высоких порядках по е.
Основу метода составляет предположение о периодичности х с частотой со,
