Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
которых зависят от k параметров ссь ..., а*, мы будем кратко называть ^-
параметрической системой дифференциальных уравнений. В дальнейшем нам
чаще всего будут встречаться 1-параметрические и 2-параметрические
системы.
Пример 2.6. На рис. 2.12 изображена бифуркация фазового портрета 1-
параметрической системы двух дифференциальных уравнений
V'Zax': (2.1.13"
I. %2 - '
-Х2.
*> Более точное определение этого понятия (топологической орбитальной
эквивалентности) может быть найдено в [2.9]. - Прим. ред.
2.1. Введение
29
При а < 0 эта система имеет одно состояние равновесия х = (х\, л'г) = (0,
0), которое представляет собой устойчивый узел. При сс = 0 каждая точка
оси х\ является состоянием равновесия системы (2.1.13). При а>0 система
(2.1.13) вновь
Рис. 2.12. Фазовые портреты системы (2.1.13).
имеет одно состояние равновесия х = (0,0), которое теперь представляет
собой седло. При переходе параметра а через нуль происходит бифуркация
фазового портрета.
2.1.3. Глобальные и локальные задачи
В случае одномерного или двумерного фазового пространства построение
глобального фазового портрета и исследование его бифуркаций, в общем,
осуществляется достаточно легко. С увеличением размерности фазового
пространства построение глобального фазового портрета, а тем самым и его
бифуркаций, становится все более сложной задачей.
Исходя из этого, мы часто исследуем фазовый портрет только в определенной
части фазового пространства, например, в окрестности состояния равновесия
или вблизи замкнутой
30
Глава 2
траектории. Такие задачи мы называем локальными - они оказываются гораздо
более легкими, нежели глобальные задачи.. Главы 5 и 6 посвящены именно
локальным задачам.
2.2. БИФУРКАЦИИ ПОЛОЖЕНИИ РАВНОВЕСИЯ
В этом параграфе мы рассмотрим три основных типа бифуркаций фазовых
портретов в окрестности положений равновесия^ Ими являются:
(1) Бифуркация типа седло-узел,
(2) Бифуркация Андронова-Хопфа,
(3) Бифуркация с потерей симметрии.
2.2.1. Бифуркации типа седло - узел ч
Начнем с простого примера. Рассмотрим 1-параметрическое дифференциальное
уравнение
х = х2 + а, x^R, aeR. (2.2.1)
Фазовые портреты уравнения (2.2.1) представлены на рис. 2.13. Из рисунка
видно, что уравнение (2.2.1) при а < 0 имеет
два положения равновесия х(1) (а) = - Vl <*I > -*(2) (")== +Vl о I >•
одно из которых, а именно х(1), является устойчивым, а другое* х(2), -
неустойчивым. При сс = 0 существует одно положение
,------ Л X X
.-v|a.l -N/lal
cx<0 ".=0 ot>Q
Рис. 2.13. Фазовые портреты уравнения (2.2.1).
равновесия Хо - 0, а при а>0 положения равновесия отсутствуют. Таким
образом, значение а = 0 является бифуркационным значением параметра.
Когда параметр а возрастает, приближаясь к 0 слева (ос-*--0), устойчивое
и неустойчивое положения равновесия приближаются друг к другу, при a = 0
они сливаются, а при a > 0 одновременно исчезают. Можно сказать, что эти
положения равновесия при слиянии аннигилируют, взаимно уничтожаются. (Это
похоже на процесс аннигиляции позитрона и электрона.)
Более наглядно бифуркацию типа седло-узел можно описать, построив
зависимость положений равновесия уравнения
(2.2.1) от параметра а. При этом мы получим изображенную
о Происхождение этого не слишком удачного термина разъяснено в конце
этого пункта. - Прим. ред.
2.2. Бифуркации положений равновесия
31
"а рис. 2.14 диаграмму, которую будем называть диаграммой (стационарных)
решений уравнения (2.2.1). Точки параболы ос = -х2 изображают состояния
равновесия уравнения (2.2.1). Верхняя ветвь параболы представляет собой
ветвь неустойчивых положений равновесия, нижняя ветвь - устойчивых.
В случае реальной системы, описываемой уравнением
(2.2.1), система стабилизируется в устойчивом состоянии равновесия, так
что о существовании другого, неустойчивого состояния равновесия мы, как
правило, ничего не знаем. При переходе
параметра а через бифуркационное значение а = 0 слева направо это
устойчивое состояние равновесия внезапно исчезает. Наоборот, если
параметр а переходит через бифуркационное значение а = 0 справа налево,
то в этом случае у нас внезапно появляется одно устойчивое состояние
равновесия системы. Замечание 2.3. Линеаризуя уравнение (2.2.1) в
окрестности
положений равновесия х1(а)== -Vl"l и х2 (а)= + Vlа I > по-лучаем
± = -2^\а\г и ( z = 2 Vla|z. (2.2.2)
Поскольку уравнение (2.2.1) является одномерным, обе матрицы линеаризации
имеют порядок 1 и их собственные числа равны соответственно ^ (a) = -2 VI
a I и ^2 (a) = 2 Vl a I > причем lim A,(a)= lim A2(a) = 0. (2.2.3)
a-"- -0 a-> -0
Матрица линеаризации в состоянии равновесия х = 0 (соответствующем
бифуркационному значению параметра а = 0) имеет нулевое собственное
число.
32
Глава 2
В общем, л-мерном случае, если для некоторого положения равновесия
матрица линеаризации имеет одно собственное число, равное нулю,
бифуркация происходит аналогично: при изменении параметра положение
равновесия либо исчезает, либо расщепляется на два новых положения
